Um exemplo clássico é em relação a uma função real f para a qual vale a propriedade:
f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)], para os valores de x em que f(x) difere de 1, sendo a um real não nulo.
Manipulações simples permitem concluir que f(x+4a) = f(x), para todo x do domínio de f (basta, a princípio, substituir x por x+a, obtendo f(x+2a)=-1/f(x); em seguida, nessa última relação, pôr x+2a no lugar de x e concluir o desejado).
Desse modo, pode-se CORRETAMENTE afirmar que 4a é UM período de f. Minha dúvida é: qual é O período (fundamental ou principal) de f? Como garantir que é 4a?
Para quem não lembra, a definição (pelo menos a que eu já vi em vários livros) de função periódica é:
"Uma função f de A em B é periódica quando existe um número real T>0, tal que f(x+T)=f(x), para todo x de A". E só, de um modo geral. Em certas situações, já vi a definição de período fundamental, To, de uma função como sendo o MENOR T, ainda positivo, que cumpre as condições da definição.
Funções como as tradicionais trigonométricas elementares (seno, co-seno, tangente, etc.) têm período fundamental 2pi (seno, co-seno, secante ou co-secante) ou pi (tangente ou co-tangente). Entretanto, de acordo com a definição precedente, entretanto, pode-se afirmar que 4pi, 6pi, 24pi, por exemplo, também são períodos (não fundamentais) de tais funções.
Na verdade, o exposto faz parte de um teorema mais geral, que se prova facilmente por indução:
(TEOREMA 1) Se T é um período de uma função f, então KT, com K inteiro positivo, também o é.
Pesquisando sobre temas "periódicos", chegam-se a alguns resultados interessantes (e até surpreendentes, para mim), como os seguintes:
a) Toda função constante é periódica. O período pode ser QUALQUER real positivo, mas, em compensação, não há período fundamental, uma vez que o conjunto ]0,+oo[ não tem elemento mínimo. Tal fato é corolário da definição adotada.
b) (TEOREMA 2) Se uma função f admite um período fundamental To e se k.To é período de f, então k é, necessariamente, inteiro. Este teorema, que eu desconhecia, surgiu "intuitivamente" durante uma aula ano passado e foi demonstrado (em alguns nanosegundos!?) pelo meu colega, professor Marcelo Rufino, também membro ilustre desta lista. Tal demonstração utiliza o teorema 1 e é feita por absurdo. Se k não fosse inteiro, então [k].To (em que [k] denota a parte inteira de k) seria um período, pelo teorema 1. Mas, então, para qualquer x, f(x)=f(x-[k].To)=f(x-[k].To+k.To)=
f(x+(k-[k]).To), o que é um absurdo, uma vez que (k-[k]).To seria um período MENOR que To, o que é um absurdo.
Assim, não consigo vislumbrar uma maneira eficiente que determine, de fato, o período fundamental de uma função não dada explicitamente . O exemplo inicial é um dentre vários famosos. Outro clássico consiste em determinar o período (fundamental) de todas as funções f que cumprem a equação f(x+4)+f(x-4)=f(x). Como livrar-me de tais impasses. Há algum erro? Ou, com efeito, é impossível determinar o período fundamental em questões como essas?
Previamente obrigado,
Márcio Pinheiro.
P.S.: Ao Nicolau, ainda estou providenciando o original da questão da prova da minha última mensagem (UFPA). Em tempo, a notação utilizada nas alternativas da prova não era A(300;3), mas a "clássica" em que os números estão indexados e separados por vírgula.
_________________________________________________________________ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
