Oi, Platao e Duda: Dentro do espirito de se buscar sempre a solucao mais bonita pra cada problema, aqui vai a minha candidata pra este ai: Se mdc(n,k) = 1 entao mdc(n,n-k) = 1. Logo, se n > 2, podemos arranjar os inteiros positivos menores que n e primos com n em pares disjuntos da forma {k,n-k}. Isso quer dizer que Phi(n) eh par para n > 2.
Eh claro que se k = n - k entao n = 2k e mdc(n,k) = k > 1 (a menos que k = 1 ==> n = 2, mas esse caso jah foi descartado). **** E se mudarmos a pergunta original para: A imagem da funcao Phi contem todos os inteiros positivos pares? (por exemplo, 14?) Um abraco, Claudio. on 30.01.04 01:04, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Oi Platão e demais. > > Não querendo corrigir, mas já enriquecendo a mensagem do Platão. Se n é > primo (com exceção a n=2) então Phi(n) = n-1 é par. Se n é potência de primo > n = p^i (com i>=2) então Phi(n) = p^i - p^(i-1) também é par. Já que a > função Phi é multiplicatica, isto é, se mdc(m,n)=1 então Phi(mn) = Phi(m) > Phi(n), então segue a conclusão de que, a menos para n = 2, Phi(n) é um > número par. > > Para quem não conhece (a maioria), o Platão é amigo meu, de Novo Hamburgo, e > portanto também gaúcho. Saudações ao mais novo membro da lista, todos > esperamos boas contribuições como essa! Seja bem-vindo! > > Abração, > Duda. > > > From: "Platão Gonçalves Terra Neto" <[EMAIL PROTECTED]> >> Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par. >> Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja, se >> n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n>2 e pi >> expoentes, então phi(n) é par. >> Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1. >> phi(1)=1. >> Logo, phi(n) é par , para todo n>2, donde ,N* não é imagem de phi(n) >> ----- Original Message ----- >> From: "André Martin Timpanaro" <[EMAIL PROTECTED]> >> To: <[EMAIL PROTECTED]> >> Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM >> Subject: [obm-l] Dúvida >> >> >>> A afirmação abaixo é verdadeira? >>> >>> Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que > phi(m)=n. >>> Onde phi(x) é a função phi de Euler. >>> Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ? >>> >>> André T. >>> >>> _________________________________________________________________ >>> MSN Messenger: converse com os seus amigos online. >>> http://messenger.msn.com.br >>> >>> > ========================================================================= >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>> > ========================================================================= >>> >> ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================