on 30.01.04 02:38, Márcio Pinheiro at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > >> From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> >> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >> To: [EMAIL PROTECTED] >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: >> [obm-l] Qual O perí odo de uma função? >> Date: Tue, 27 Jan 2004 21:17:06 -0200 >> >>> Tudo o que você disse é verdade mas você não resolveu o problema >> de forma completa. O fato de 6 ser um período só garante que o período >> fundamental, se existir, é da forma 6/n para algum inteiro positivo n. >> Você não esclareceu se existem funções nesta classe com períodos >> fundamentais >> 3, 2, 3/2, 6/5, 1, 6/7, ... >> >> O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos >> não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante >> mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0 >> se x é irracional, tem qualquer número racional como período. >> É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe. > > Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função contínua não tem período > mínimo somente se for cnostante. Onde posso encontrar alguma explanação > dele? > Perdão pela insistência, mas como se resolve o problema de forma completa? É > possível? > Eu mandei uma msg a respeito ha alguns dias mas acho que passou despercebida.
Eh o seguinte: usando apenas a equacao funcional f(x+1) = f(x+2) + f(x) para todo x, o Artur mostrou que 6 eh um periodo de f e que 3 nao eh, pois f(x+3) = -f(x). Alem disso, 2 tambem nao eh periodo, pois se fosse, teriamos f(x+1) = 2f(x) ==> f(x) = f(x+2) = 2f(x+1) = 4f(x) ==> f(x) = 0, o que implica que 1 tambem nao eh periodo (pois se fosse, 2 = 2*1 tambem seria) e, mais geralmente, tambem nao eh periodo nenhum numero da forma 6/(2^r*3^s) com r, s inteiros nao-negativos e tais que r+s=1. Assim, resta apenas determinar se algum numero da forma 6/n, onde n eh primo com 6, eh periodo de alguma funcao que obedece a equacao funcional. Entretanto, se mdc(n,6) = 1, entao f(x) = sen(n*pi*x/3), uma funcao periodica com periodo fundamental igual a 6/n, eh tal que f(x+1) = f(x+2) + f(x). Logo, o periodo fundamental da funcao soh pode ser da forma 6/n, onde n eh primo com 6 (inclusive n = 1). Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
