Com relacao a beleza matematica, uma regra que eu acho que falha pouco eh a seguinte: se um resultado tem uma demonstracao combinatoria, entao essa demonstracao eh a mais bonita. O unico contra-exemplo que me ocorre eh o caso do uso de algebra linear pra se demonstrar alguns resultados de combinatoria, mas isso eh a minha opiniao pessoal...
Outro resultado parecido que tem uma demonstracao combinatoria identica eh: se n eh um inteiro positivo, entao d(n) eh impar se e somente se n eh quadrado perfeito, onde d(n) = no. de divisores positivos de n. Acho que dah pra provar que se p eh um primo tal que 2p+1 eh composto, entao a equacao Phi(x) = 2p nao tem solucao. Um abraco, Claudio. on 30.01.04 11:00, Frederico Reis Marques de Brito at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Muito interessante essa demonstração combinatória! > > Quanto a sua reformulação, ainda restringindo o contradomínio aos números > pares a função phi é altamente não sobrejetiva... > > Frederico. > > >> From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> >> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >> To: <[EMAIL PROTECTED]> >> Subject: [obm-l] Phi de Euler >> Date: Fri, 30 Jan 2004 09:44:19 -0200 >> >> Oi, Platao e Duda: >> >> Dentro do espirito de se buscar sempre a solucao mais bonita pra cada >> problema, aqui vai a minha candidata pra este ai: >> Se mdc(n,k) = 1 entao mdc(n,n-k) = 1. Logo, se n > 2, podemos arranjar os >> inteiros positivos menores que n e primos com n em pares disjuntos da forma >> {k,n-k}. Isso quer dizer que Phi(n) eh par para n > 2. >> >> Eh claro que se k = n - k entao n = 2k e mdc(n,k) = k > 1 (a menos que k = >> 1 >> ==> n = 2, mas esse caso jah foi descartado). >> >> **** >> >> E se mudarmos a pergunta original para: A imagem da funcao Phi contem todos >> os inteiros positivos pares? (por exemplo, 14?) >> >> Um abraco, >> Claudio. >> >> on 30.01.04 01:04, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] >> wrote: >> >>> Oi Platão e demais. >>> >>> Não querendo corrigir, mas já enriquecendo a mensagem do Platão. Se n é >>> primo (com exceção a n=2) então Phi(n) = n-1 é par. Se n é potência de >> primo >>> n = p^i (com i>=2) então Phi(n) = p^i - p^(i-1) também é par. Já que a >>> função Phi é multiplicatica, isto é, se mdc(m,n)=1 então Phi(mn) = >> Phi(m) >>> Phi(n), então segue a conclusão de que, a menos para n = 2, Phi(n) é um >>> número par. >>> >>> Para quem não conhece (a maioria), o Platão é amigo meu, de Novo >> Hamburgo, e >>> portanto também gaúcho. Saudações ao mais novo membro da lista, todos >>> esperamos boas contribuições como essa! Seja bem-vindo! >>> >>> Abração, >>> Duda. >>> >>> >>> From: "Platão Gonçalves Terra Neto" <[EMAIL PROTECTED]> >>>> Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par. >>>> Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja, se >>>> n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n>2 e pi >>>> expoentes, então phi(n) é par. >>>> Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1. >>>> phi(1)=1. >>>> Logo, phi(n) é par , para todo n>2, donde ,N* não é imagem de phi(n) >>>> ----- Original Message ----- >>>> From: "André Martin Timpanaro" <[EMAIL PROTECTED]> >>>> To: <[EMAIL PROTECTED]> >>>> Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM >>>> Subject: [obm-l] Dúvida >>>> >>>> >>>>> A afirmação abaixo é verdadeira? >>>>> >>>>> Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que >>> phi(m)=n. >>>>> Onde phi(x) é a função phi de Euler. >>>>> Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ? >>>>> >>>>> André T. >>>>> ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================