-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- Hash: SHA1 [Sunday 01 February 2004 16:28: <[EMAIL PROTECTED]>] > E ai pessoal da lista.Poxa fazia tempo q eu nao escrivia. > Estive lendo o ultimo mathematical excalibur e achei uma questão q é > interessante.no começo achava q seria facil resolver mas so consigui achar > duas soluções e pelo q vi ela tem tres soluções..A questão é a seguinte: > Resolva a equação > x^3 - 3x = sqrt(x+2) > [...]
Seja y = x-2. Então (y-2)^3 - 3(y-2) = sqrt(y). Tome t = sqrt(y), t >= 0. Então t^2 = y e (t^2-2)^3 - 3(t^2-2) = t <=> t^6 - 6t^4 + 9t^2 - t - 2 = 0. Obviamente t = 2 é raiz. Logo (t - 2)(t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1) = 0. Como o polinômio de quinto grau não tem raízes racionais, se ele for redutível, ele deve ser o produto de um polinômio de terceiro grau por um de segundo grau. Logo queremos resolver a identidade t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1 = (t^2 + At + B)(t^3 + Ct^2 + Dt + E). Expandindo, uma das equações exige que BE = 1, logo, se B e E forem inteiros, então B = E = 1 ou B = E = -1. O primeiro caso não tem soluções inteiras, o segundo admite (a, c, d) = (1, 1, -2). Logo (t - 2)(t^2 + t - 1)(t^3 + t^2 - 2t - 1) = 0. É trivialmente fácil achar as raízes positivas dos dois primeiros fatores (lembre que estamos sob a restrição t >= 0). Se P(x) = t^3 + t^2 - 2t - 1, como P(-2) = -1, P(-1) = 1, P(0) = -1, P(1) = -1, P(2) = 7, P tem três raízes reais a < b < c, com -2 < a < -1, -1 < b < 0 e 1 < c < 2. c é obviamente a única raiz positiva. Então as únicas raízes positivas em t são 2, (sqrt(5)-1)/2 e c. Então os possíveis valores de y são 4, (3-sqrt(5))/2 e c^2. Logo as soluções da equação original são 2, -(1+sqrt(5))/2 e c^2-2, onde c é a raiz positiva de c^3 + c^2 - 2c - 1 = 0. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -----BEGIN PGP SIGNATURE----- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAHXobalOQFrvzGQoRAmiDAKCcDIF79utiXTEj6EURI9/aCU/uSgCgy0NG JDJNCFywc3/5/ipdhVhtnAw= =uzet -----END PGP SIGNATURE----- ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================