Nao entendi 2 passagens na demonstracao:
1) A'B' >= CA'' + CB''
Nao seria A'B' = CA'' + CB'' ? Pois o triangulo A`B`C nao eh a imagem refletida do triangulo ABC ? Estou imaginando (pena que nao da para postar figura aqui na lista) que
A'B' = c = A"B" = CA'' + CB''
e imaginando tbem que a alteracao do angulo A`CB` (ou ateh mesmo ACB) nao alterara a igualdade acima pois alterando o angulo A`CB` ou ACB as medidas de A'B' e AB aumentarao respectivamente, e aumentara tbem na mesma proporcao suas respectivas projecoes na razao 1:1, logo nao consigo enxergar uma situacao em que A'B' > CA'' + CB'' , mas vejo apenas A'B' = CA'' + CB'' . Espero ter sido claro em minha duvida. Sei que a forma como escreveu esta correta, mas nao seria certo da minha parte ficar com esta duvida. Estou tendo uma duvida e nao objetando !
2) CA''=CA*cos(B) = b*cos(B)
Estou vendo a equacao com uma pequena modificacao
CB" = CB*cos(B) = a*cos(B)
Ps: Segui a *receita* de como montar uma figura :o), como esta na mensagem, mas nao estao batendo algumas partes.
Em uma mensagem de 3/2/2004 22:25:14 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola Joao e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Seja "r" o raio do circulo inscrito no mesmo triangulo. Como 2*r =< R e
R = 4/(3^(1/2)) segue
que r =< 2/(3^(1/2)). Mas 3^(1/2) > 1. Assim 2/(3^(1/2)) < 2 => r < 2.
Todavia, por outro lado, a area do triangulo e p*r e o perimetro 2*p. Logo
p*r = 2*p => r = 2.
Vemos que estes resultados sao incompativeis e portanto nao e possivel
inscrever em C um
triangulo que tenha area numericamente igual ao seu perimetro.
Como voce viu acima, o problema e trivialissimo. Se voce nao o resolveu e
porque, muito provavelmente, voce nao conhecia a relacao "2*r =< R", vale
dizer, nao sabia que em qualquer triangulo o raio do circulo circunscrito
nunca e menor que o diametro do circulo inscrito.
Esta relacao e uma das consequencia da Desigualdade Eduardo Wagner :
"Em qualquer triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos
produtos de cada lado
pelo cosseno do angulo oposto". Em simbolos :
p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C)
Prova :
IMAGINE um triangulo de base AB e vertice C. Por este vertice trace uma reta
"s" paralela a AB.
Prolongue AC no sentido de A para C de um segmento CB' = CB. Seja B'' a
projecao de B' em "s".
Igualmente, prolongue BC no sentido de B para C de um segmento CA' = CA.
Seja A'' a
projecao de A' em "s".
Ligando A' com B' vemos claramente que os triangulos ABC e A'B'C sao
congruentes, pois :
CÁ' = CA ( por construcao )
CB' = CB ( por construcao )
angulo A'CB' = angulo ACB ( opostos pelo vertice )
Portanto : A'B' = AB. Por outro lado, claramente :
A'B' >= CA'' + CB'' e, alem disso, CA''=CA*cos(B)=b*cos(B) e
CB''=CB*cos(A)=a*cos(A).
Assim : AB=c >= a*cos(A) + b*cos(B)
Repetindo uma construcao analoga para os outros dois vertices e aplicando o
mesmo raciocinio,
chegaremos a :
b >= a*cos(A) + c*cos(C)
a >= b*cos(B) + c*cos(C)
Somando as tres desigualdades :
a + b + c >= 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) e como a+b+c = 2p,
ficara :
p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C)
que e COMO QUERIAMOS DEMONSTRAR.
Agora, usando a DESIGUALDADE EDUARDO WAGNER prove que R >= 2*r.
Em verdade, esta elegante desigualdade tem inumeras outras implicacoes
surpreendentes e
interessantes, nao restritas a geometria. Eu a descobri quando estudei
geometria pela primeira
vez, nos Livros dos Grandes Mestres Eduardo Wagner e Augusto Morgado, ambos
membros
desta Lista. O nome que dei a ela foi a forma que encontrei de homenagear um
dos Profs que
despertaram a minha admiracao pela Matematica.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,2220,030204
>From: João Silva <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: [obm-l] Duvida - triangulo
>Date: Tue, 3 Feb 2004 13:29:53 -0300 (ART)
>
>Alguem sabe como se resolve:
>
>- Seja C uma circunferencia de raio R = 4 / (3 ^ 1/2). Analise se é
>possivel inscrever em C um >triangulo cuja área seja numericamente igual ao
>seu perimetro.
>
>
