Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos
MG <= MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10.
Um abraço, Frederico.
From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Date: Sat, 7 Feb 2004 05:08:22 -0200
Cláudio,
A equação proposta por você é interessantíssima.
Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim:
a_10 = 1 > 0, a_8 > 0, a_6 > 0, a_4 > 0, a_2 > 0, a_0 = 1 > 0
a_9 = -10 < 0, a_7 < 0, a_5 < 0, a_3 < 0, a_1 < 0
Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10.
Espero que esteja correto.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
----- Original Message ----- From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM Subject: [obm-l] Equacao polinomial
> Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais
> populares da lista, aqui vai um:
>
> Determine as raizes de:
> x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas
> elas sao reais e positivas.
>
> Um abraco,
> Claudio.
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