Oi Arthur, tudo bem? Eu vi a demonstracao de que os nrs algebricos sao fechados para soma e multiplicacao num livro chamado "Numeros irracionais e transcedentes", de Djairo Figueiredo. Eu achei o livro interessante, pois nele eu vi pela primeira vez a demonstracao de que Pi era transcendente (alem de demonstracoes para transcedencia de 'e' e irracionalidade de 'Pi' e 'e'). Isso resolve o seu problema, pq se x eh algebrico e y eh transcendente, entao x+y nao pode ser algebrico (pq se fosse teriamos y = (x+y) + (-x) algebrico pelo resultado acima). O caso da multiplicacao eh analogo. Eu fiquei muito chateado de nao ter pensado nisso durante a prova da OBM-u de 2003, pois a questao 5 da prova usava uma ideia semelhante à ideia dessas demonstracoes. Inclusive, o que eu estou escrevendo aqui nao foi retirado diretamente do livro, mas sim do que eu lembro das ideias principais que o Carlos (Stein) usou para resolver a questao na prova.. Nao sei de um site onde tenha essa demonstracao, mas a ideia eh a seguinte: Suponha que x e y sao algebricos. Entao, existem n-uplas (x_1,x_2,...,x_n) e (y_1, ..., y_n) tais que x_1 + x*x_2 + ... + (x^n-1)*x_n = 0. Em particular, podemos escrever x^n em funcao de 1,x,x^2,...,x^n-1, sendo cada coeficiente uma combinacao linear dos racionais (x_1, ..., x_n). Tambem podemos fazer isso para x^n+1, x^n+2, e assim por diante, e podemos fazer algo analogo para y. Olhe agora para os numeros 1, (x+y), (x+y)^2, (x+y)^3, ... . Pelo que foi visto acima, veja que cada termo x^p * y^q pode ser escrito como uma combinacao linear dos termos x^i * y^j para i,j em {0,1,...,n-1} (basta escrevermos x^p em funcao de 1,x,x^2,...,x^n-1 e fazer analogo para y^q. Portanto cada um dos termos (x+y)^k pode ser escrito como uma combinacao racional dos mn numeros x^i * y^j acima descritos. Ou seja, a cada (x+y)^k associamos um vetor de mn componentes racionais (r_ k1, r_k2, ...). Pegando k=1,2,...,mn+1, obtemos mn+1 vetores do espaco Q^mn (com escalares em Q), e portanto eles devem ser linearmente dependentes, ou seja, existem racionais q_1, ... nao todos nulos de modo que q_1*(x+y) + q_2*(x+y)^2 + ... + q_n*(x+y)^n = 0 (pq cada componente do vetor será zero, e portanto essa soma sera zero). Abracos, Marcio
----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, February 12, 2004 10:20 AM Subject: [obm-l] Numeros algebricos e transcendentes > Alguem poderia indicar algum material ou algum site sobre numeros algebricos > e transcendentes? > Especificamente, alguem tem uma demonstracao de que a soma de um > transcendente com um algebrico eh trancendente e o produto de um > transcendente por um algebrico nao nulo eh transcendente? > Obrigado > Artur > > ________________________________________________ > OPEN Internet > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================