Oi Victor, Esta eh a sequencia das somas parciais da famosissima serie cujo limite eh o numero e. Eh crescente porque, para cada natural n>=2, 1/n >0, de modo que a_n = a_n-1 + 1/n > a_n-1. A sequencia eh estritamente crescente. Para chegarmos aa conclusao do Elon, observemos que, para n>2, n! =1*2....*n >2*2...*2 (n-1 vezes) = 2^(n-1). Logo, 1/n! < 1/(2^(n-1)) e 1 +1/1 + 1/2! ...+1/n! < 1 +1/1 +1/2 + 1/(2^2)...+ 1/(2^(n-1)) < 1+ 1/1 +1/2 + 1/4...+ 1/(2^n)..... Mas 1/1 +1/2 + 1/(2^n).... eh uma serie geometrica cuja razao eh 1/2 <1. Logo, esta serie converge para 1/(1-1/2) =2, do que concluimos que 1 + 1 +1/2!....+1/n!....<1+2 =3. Assim, a_n eh limitada e monotonicamente crescente, logo convergente. Converge para o famoso e = 2,71828..., um numero nao apenas irracional mas transcendente.
De fato, como vimos tem tudo a ver com majorar a soma, ou seja, encontrar para ela um majorante, termo que atualmente nao eh muito usado e que tem sido substituido por limite superior. Se uma ex[pressao eh majorada por um numero L, entao L eh um limite superior dad mesma. Abracos. Artur -----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of victorvale Sent: Thursday, February 12, 2004 2:58 PM To: obm-l Subject: [obm-l] dúvida1 Olá, alguém poderia me provar isso que eu vi no livro “Curso de análise” do Elon? Seja a seqüência an = 1+1/1!+1/2!+...+1/n! O Elon diz que ela é evidentemente cresente e além disso é limitada, pois an <1+1+1/2+1/2*2+ ...+1/2n-1 < 3 , para todo n . Gostaria de saber se isso tem a ver com “majorar” a soma e que alguém me explicasse o que é majorar. Obrigado, Victor. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================