>-----Original Message----- >From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On >Behalf Of Nicolau C. Saldanha >Sent: Sunday, February 15, 2004 1:27 PM >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] Problema sobre um Anel > >On Sun, Feb 15, 2004 at 10:02:53AM -0300, Claudio Buffara wrote: >> Oi, pessoal: >> >> Esse aqui tah dando trabalho: >> >> Seja (A,(+),(*)) um anel, onde: >> A = conjunto dos racionais no intervalo [0,1); >> a (+) b = a + b (mod 1), ou seja: >> a + b < 1 ==> a (+) b = a + b e a + b >= 1 ==> a (+) b = a + b - 1. >> >> Prove que a (*) b = 0, para quaisquer a, b em A. > >Vamos primeiro provar que se a e b são inteiros positivos primos >entre si então 1/a * 1/b = 0. Ora, a*(1/a * 1/b) = (a* 1/a)*1/b = 0*b = 0 Eu fiquei com duvida, porque podemos afirmar que (a* 1/a)*1= 0?
>e analogamente b*(1/a * 1/b) = 0 (aqui a multiplicação por a e por b >não é a multiplicação do anel, é multiplicar um inteiro por um elemento >de um grupo aditivo). Mas existem inteiros c e d tais que ad - bc = 1. >Assim (1/a * 1/b) = (ad - bc)*(1/a * 1/b) = d*0 - c*0 = 0. > >Vamos agora provar que 1/p^a * 1/p^b = 0, onde p é um primo e a e b >são inteiros positivos. Seja x = 1/p^a * 1/p^{b+a}. Claramente >p^a * x = (p^a * 1/p^a)*1/p^{b+a} = 0*1/p^{b+a} = 0. >Por outro lado p^a * x = 1/p^a * (p^a * 1/p^{b+a}) = 1/p^a * 1/p^b. > >Mas todo racional pode ser escrito como soma de racionais de denominador >potência de primo. Isto mostra que o produto é zero sempre. > >[]s, N. >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================