On Wed, Feb 25, 2004 at 04:34:22PM +0000, Paulo Santa Rita wrote: > " Se f:R->R e periodica de periodo T e integravel em qualquer intervalo, > mostre que : > INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f qualquer que seja a constante > A" > > A questao e trivialissima e eu coloquei : > > Como f e integravel em qualquer intervalo, a funcao F(x)=INTEGRAL(x ate x+T) > f esta bem definida. Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO segue que F'(x) = > f(x+T) - f(x). Ora, f e periodica de periodo T. Entao F'(x)=0. Isto implica > F(x)=constante. Logo, o valor de F(x) nao depende de x. > Portanto F(A)=F(0), isto e : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f. > > A questao valia 3.5 pontos. Eu ganhei 1 ponto nela. Fui ao Prof. > ( EU PERGUNTEI ) -- Prof, por que eu perdi ponto nesta questao ? > ( RESPOSTA DO PROF ) -- O seu uso do Teorema Fundamental do Calculo nao e > usual ... > > Portanto, e bom ficar atento, porque nao e raro nos depararmos com estas > "figuras maravilhosas" que tem a imensa habilidade de "essencializar o > trivial e trivializar o essencial". A mediocridade > e uma doenca cultural, incuravel, transmissivel por conceitos e > procedimentos.
Eu não resisto à tentação de tumultuar um pouco... Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; você só pode afirmar que F'(x) = 0 para quase todo ponto. E o fato da função F ser contínua e ter derivada zero qtp *não* é suficiente para garantir que F é constante! Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Isto só vale se f for sabidamente contínua em x e x+T (ou algo similar). Note que o enunciado não diz que f é contínua nem nada do gênero apesar de que talvez fosse esta a intenção. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================