Bem difícil mesmo!!! A solução que encontrei foi esta:
Chame o vértice mais da esquerda de A, o do direita de B e o de cima de C. Coloque o vértice D entre A e B. Na interseção de AB com CD coloque E. Na interseção de AE com BC coloque F. (Seria mais fácil se eu pudesse anexar a figura). Chamando de a o ângulo EAD, b o ângulo EDB, e c o ângulo EFB, podemos definir os demais ângulos como: AED = b - a CEF = b - a DBC = 180 - (a + c) DCB = c - (b - a) CFE = 180 - c Traçando-se as circunferências circunscritas aos triângulos AED e CEF, essas interceptam-se nos pontos E e P. - Na circunferência circunscrita a ADE, se AED = b - a , então APD = b - a (ambos inscritos no arco AD). - Na mesma circunferência,DPE = DAE =a (ambos inscritos no arco DE). - Na circunferência circunscrita ao triângulo CEF, se CFE = 180 - c , então EPC = c , pois são ângulos opostos do quadrilátero inscritível EPCF. - Podemos afirmar, portanto, que a + c , pois DPC = DPE + EPC . Como DPC = a + c e DBC = 180 - (a + c) , então DPC + DBC = 180º , o que prova que a circunferência que circunscreve o triângulo DBC também circunscreve o quadrilátero DBCP. Logo, P pertence à circunferência circunscrita ao triângulo DBC. Na circunferência circunscrita ao triângulo DBC, temos DCB = DPB = c - (b - a) , pois são ambos ângulos inscritos no arco BD. E se APB = APD + DPB , então APB = (b - a) + (c - (b - a)). Então, APB = c , logo, APB = AFB o que prova que P e F são pontos pertencentes ao arco capaz do ângulo c relativo ao segmento AB. Com isso, podemos afirmar que ABFP é um quadrilátero inscritível e portanto, P pertence à circunferência que circunscreve o triângulo AFB. Logo, P é ponto comum às 4 circunferências circunscritas aos 4 triângulos da figura. Achei essa questão muito interessante, embora na minha opinião, fuja muito do nível da maioria dos candidatos. -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 27 de fevereiro de 2004 15:30 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Geometria no plano Dêem uma olhada também na questão 10 em http://www.ime.eb.br/~sd3/vestibular/provas9798/mat04.gif . Como provo isso? ======================================================================== = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ======================================================================== = ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================