On Tue, Mar 02, 2004 at 07:33:54PM +0000, Márcio Pinheiro wrote: > Encontrar os valores de x e de y, para os quais x^y=a e y^x = a+1. Discutir > as soluções para os possíveis valores de a.
Eu não sei dar uma solução completa para este problema, mas tenho algumas observações a fazer. Não vou demonstrar quase nada, é tudo matemática experimental. Escreva x = e^u, y = e^v. Defina w = f(u,v) = exp(v exp(u)) - exp(u exp(v)). As curvas de nível w = 0 (azul) e w = 1 (vermelho) estão mostradas na figura atachada: a curva vermelha dá as soluções da equação (a menos da mudença de variável entre (x,y) e (u,v)) para a arbitrário. Podemos observar que a curva vermelha tem duas componentes, ambas parecem ser assintóticas ao eixo horizontal. O valor de a = exp(u exp(v)) parece crescer monotonamente quando percorremos a componente da esquerda, indo de 0 a +infinito. Já na curva da direita, o valor de a tende a +infinito nas duas pontas e parece ter um único mínimo local. O ponto de mínimo local pelas minhas contas é aproximadamente x = 4.313517, y = 1.982000, a = 18.123252. Se isto tudo estiver certo a equação tem uma única solução para a < amin (na curva da esquerda), duas soluções para a = amin (uma em cada curva) e três soluções para a > amin (uma na curva da esquerda e duas na curva da direita). Falta provar (ou desmentir!) tudo isso e ver se amin ~= 18.123252 admite uma expressão bonitinha. []s, N.
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