on 07.03.04 09:38, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> SO PARA ESCREVER MESMO...Achei esse problema > superdivertido!!!!!!E bem legal usar polinomios > para determinar irracionais e coisas do genero... > Agora, para aproveitar o pique, duas perguntas, > uma delas eu sei a resposta, a segunda nao: > 1)k^1!+k^2!+k^3!+k^4!+... com 2*k=1 e > transcedente; Este eh o exemplo classico de numero de Liouville e, se nao me engano, foi o primeiro exemplo explicito de numero transcendente. > 2)log k/log 10 ou e racional ou e transcedente; Suponhamos que k seja um inteiro que nao eh potencia de 10 (se k = 10^n entao log(k)/log(10) = n = inteiro). Nesse caso, acho que isso eh consequencia do teorema do item (3) abaixo. a = log(k)/log(10) <==> 10^a = k Eh facil ver que a nao pode ser racional (use o teorema fundamental da aritmetica). Se a for algebrico (e irracional), entao, como 10 eh algebrico, k = 10^a serah transcendente. Logo, nao poderah ser inteiro. > 3)Onde acho a demonstraçao de que a^b e > transcedente se a e algebrico e b e um algebrico > nao-inteiro? Isso nao eh verdade. Tome a = 4 e b = 1/2. Imagino que voce se refira ao teorema de Gelfond-Schneider: Se a e b sao algebricos com a <> 0, a <> 1 e b irracional, entao a^b eh transcendente. Uma demonstracao encontra-se aqui: http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================