Re: [obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Somat=F3rio_da_fun=E7=E3o?=

[Ricardo Bittencourt]

David M. Cardoso wrote:

Soma[i^2] = n(n+1)(2n+1)/6
Na verdade eu só entendi pq abstraí isso... e isso eu não entendi.
    Acho que a maneira mais fácil de derivar isso
é considerar o problema de calcular sum(1,n)[i^3]
        Quanto dá sum(1,n+1)[i^3]? Certamente vale
sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3. Por outro lado, a gente pode
mudar o índice sem mudar a soma:
        sum(1,n+1)[i^3]=sum(0,n)[(i+1)^3]=
        sum(0,n)[i^3+3*i^2+3*i+1]=
        sum(0,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*sum(0,n)[i]+n
        Notando que 3*sum(0,n)[i]=3*n*(n+1)/2,
e ainda que sum(0,n)[i^3]=sum(1,n)[i^3], juntando tudo
temos:
sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3=sum(1,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n

	O sum(1,n)[i^3] morre dos dois lados, então sobra

        (n+1)^3=3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n
        3*sum(0,n)[i^2]=n^3+3*n^2+3n+1-3n^2/2-3n/2+n
        3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n-3n/2-3/2+1)
        3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+(6n-3n)/2+(-3/2+2/2))
        3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n/2-1/2)
        3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2/2+3n/2-1/2)
        3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2+3n-1)/2
        3*sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/2
	e por fim

	sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/6

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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
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