Oi Tertuliano Nao entendi bem o enunciado do primeiro problema. Voce quis mesmo dizer inf {f(x)}?
Vou tentar, por ora, resolver o segundo problema. Sejam Dx e Dy as metricas nos espacos X e Y. O fato de f ser localmente Holder acarreta que f seja continua em X. Como X eh compacto, temos que f(X) tambem eh. Logo, f(X) eh limitado (totalmente limitado), e f eh limitada em X. Admitamos que f nao seja Holder em X e fixemos algum a>0. Para todo natural n, existem entao x_n e y_n em X tais que Dy(f(x_n), f(y_n)) >= n*Dx(x_n, y_n)^a (do contrario, f seria Holder com parametros n e a). Afirmamos que a sequencia de numeros reais Dx(x_n, y_n) converge para zero. Se isto nao se verificasse, existiram s>0 e subsequencias (x_n_k) e (y_n_k) tais que Dx(x_n_k , y_n_k) >=s para todo k. Mas isto implicaria que Dy(f(x_n_k), f(y_n_k)) >= n_k*s^a para todo k, contrariando a conclusao anterior segundo a qual f eh limitada em X (n_k cresce ilimitadamente com k e s^a>0). Como X eh compacto,(x_n) contem uma subsequencia (x_n_k) que converge para algum u de X. Temos entao que Dx(x_n_k, y_n_k), a qual eh subsequencia de Dx(x_n, y_n), converge para zero, o que implica que (y_n_k) tambem convirja para u. Dado r>0 arbitrariamente escolhido, para k suficientemente grande obtemos x_n_k e y_n_k em B(u,r). Pelas nossa hipoteses, para tais valores de k temos tambem que Dy(f(x_n_k), f(y_n_k)) >= n_k*Dx(x_n_, y_n_k)^a. Como n_k torna-se arbitrariamente grande quando k tambem se torna, isto significa que, para o parametro a que fixamos, a restricao de f a B(u,r) nao eh Holder. Mas como r>0 e a>0 sao ambos arbitrarios, isto significa que, contrariamente aa hipotese basica, f nao eh localmente Holder em u. Esta contradicao prova o teorema (Assim espero! Confira bem a prova que posso ter cometido algum erro..). Uma saida talvez mais natural para esta prova seria, para cada x de X, escolher uma vizinhanca de raio r_x na qual a restricao de f seja Holder. A colecao destas vizinhancas cobre X que, por ser compacto, eh coberto por um numero finito das mesmas. Mas embora esta saida seja mais natural, eu me enrolei neste ponto e empaquei. Talvez vc ache uma saida mais elegante por aqui. Quando possivel, eu prefiro provas diretas do que por contradicao, mas neste caso naum consegui. -----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Tertuliano Carneiro Sent: Friday, March 19, 2004 5:32 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Compacidade Olá para todos! Aí vão alguns problemas, q jah estão virando pesadelo! 1) Seja f > 0 uma função real contínua definida em um espaço métrico X e tal q inf {f(x)} > 0, para todo x em X. Mostre q X eh compacto. 2) Seja X um espaço métrico compacto e f : X em Y localmente Holder, ou seja, dado x em X, existe B(x,r) tq f restrita a B é Holder. Mostre q se f é localmente Holder, então f é Holder. (Y é espaço métrico) Lembrando: f é Holder se existem a > 0 e c > 0 tq d(f(x) - f(y)) <= c*d(x,y)^a, para todo x ey em X. 3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto compacto do R^n, f : X x K em R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em X, exista um único y em K tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente de x. Grato por qualquer solução e/ou comentário. Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================