Fábio, Eu não entendi exatamente do que você discorda. A desigualdade que você apresenta não é a mesma sobre a qual o Niski estava raciocinando. Nunca eu escrevi que a desigualdade 3 < log(10,2) < 4 era falsa! Tudo que eu escrevi foi que a aproximação posterior estava equivocada, e *realmente* estava. Eis o porquê:
3 < log(10,2) < 4 ==> 3 < 1/log(2) < 4 Quanto vale log(2)? Bom, log(2) é maior que log(1) e menor que log(10), assim, está entre 0 e 1. Será que isso é suficiente? Hum, não, a aproximação é muita. Suponhamos, então, log(2^10)/10. E quanto vale log(1024)? Ele é maior que log(1000) = 3 e menor que log(10000) = 4. No entanto, log(1024) é bem mais próximo de log(1000) do que log(2) é de log(10), ou ainda, do que é log(10,2) de log(16,2) = 4, como havia sido suposto. Admitamos, então, que log(1024) = log(1000) = 3. Dessa forma, log(2^10)/10 = 3/10. Voltando na desigualdade inicial: 3 < 1/log(2) < 4 ==> 3 < 10/3 < 4 ==> 12 < 40/3 < 16 ==> ==> 12 < 13 + 1/3 < 16 ==> 12 < 13,333... < 16 Como i >= 13,333..., então i = 14. Foi ou não um erro de aproximação? Claro que sim. Em relação ao que você disse posteriormente, eu concordo e discordo simultaneamente. Primeiramente, concordo, pois o tema é realmente importante. Entretanto, discordo, pois não se trata de qualquer desafio. Os algoritmos já existem, já estão implementados em calculadoras, programas de computador etc. Querer utilizá-los para se calcular manualmente a raiz quadrada, cúbica, ... enésima é pura perda de tempo. Leia o e-mail que escrevi sobre o algoritmo que extrai a raiz cúbica real de 2. Não se trata de algo pouco trabalhoso ou de qualquer situação desafiante: é apenas a aplicação de um algoritmo. Espero ter justificado o que antes havia escrito. Considero importante ponderar os pontos de vista, mas deve-se ler com atenção aos alheios também... Abraços, Rafael de A. Sampaio ----- Original Message ----- From: "Fabio Henrique" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, March 20, 2004 2:19 PM Subject: Re: [obm-l] Pequeno erro (um desafio em calculadoras) Rafael. Em primeiro lugar, não concordo que o Niski tenha errado o problema por causa da aproximação. Ele sabia que i >= 4log[2](10) e 12 < 4log[2](10)< 16 Isto NÃO QUER DIZER que i >= 16. O i pode estar entre 4log[2](10)e 16. Em segundo lugar, pode ser enfadonho calcular a raiz cúbica de um número em uma calculadora com 4 operações e raiz quadrada, se tivermos que recorrer a isso todas as vezes que este cálculo aparecer. No entanto, acho um desafio interessantíssimo e muito instrutivo no que diz respeito aos métodos iterativos de resoluções de equações. Pode ser um exemplo interessante para se começar uma aula sobre Método de Newton. Saudações matemáticas. Fabio Henrique ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================