Bom dia, Hah alguns dias o Tertuliano enviou para a lista alguns problemas de Topologia bem interessantes que ele disse que estavam virando pesadelo. Acho que 2 deles ja foram resolvidos. Para o que faltava, o primeiro, o Tertuliano comecou apresentando uma solucao que me pareceu correta mas que nao chegou ao final. Eu tentei prosseguir na linha dele mas complicou. Eu ontem conversei com um amigo meu, americano, que em Matematica estah bilhoes de anos luz aa minha frente e ele, apos ouvir o problema, disse "It's kinda obvious, man!" e alinhavou uma solucao obvia (nao deu para entrar em muitos detalhes na hora porque era uma ligacao internacional) que eu agora vou concluir fazendo a parte da transpiracao, jah que ele deu a inspiracao. Pelo menos, a sugestao inicial foi minha, ou seja, considerar que se um espaco metrico nao eh compacto entao ele tem uma sequencia sem nenhuma subsequencia convergente. Grande! Ninguém sabia disto!
Seja X um espaco metrico tal que, para toda funcao f:X -(0, inf), continua e positiva, tenhamos inf{f(x) | x estah em X} >0. Entao, X eh compacto. Raciocinando por contraposicao, suponhamos que X nao seja compacto e vamos produzir uma funcao f, f:X ->(0, inf), continua e positiva, mas tal que inf{f(x) | x estah em X} =0. Como X naum eh compacto, existe nele uma sequencia {x_n} que nao contem nenhuma subsequencia convergente. Como esta sequencia contem necessariamente uma infinidade de termos distintos (ou teria uma subseq. convergente), podemos admitir, sem perda de generalidade, que seus termos sao distintos 2 a 2. Seja E = {x_1, x_2...x_n...}. E nao possui pontos de acumulacao (se possuisse um deste pontos, ele seria, automaticamente, limite de alguma subseq. de {x_n}, contrariamente aa hipotese estabelecida) e, desta forma, eh um conjunto fechado. Para cada n, definamos E_n = E/{x_n} (o complemento de {x_n} com relacao a E). Como cada {x_n} eh fechado, segue-se que cada E_n tambem eh. E como E eh infinito, nenhum e_n eh vazio. Definamos agora, para cada natural n, f_n:X->[0,1) por f_n(x) = D(x,E_n)/(1+D(x,E_n)), d distancia definida em X, e D, de um ponto a um conjunto nao vazio, dada por D(x,E_n) = inf{d(x,u) | u estah em E_n}. Sabemos que a funcao D eh continua (uniformemente) em X. Sabemos tambem que a distancia de um ponto a um conjunto eh nula se, e somente se, o ponto pertencer ao fecho do conjunto. Como cada E_n eh fechado, segue-se que a distancia de algum elemento de X a ele eh nula sse o o elemento pertencer a E_n. Dado que o denominador na definicao de f_n nunca se anula, temos entao que cada f_n eh continua em X. Alem disto, f_n(x)=0 sse x estiver em E_n. Eh tambem imedediato que 0<=f_n(x)<1 para todo x de X. Definamos agora f:X->(0, inf) pela serie de funcoes dada por f(x) = Soma(n=1, inf) 2^(-n)*f_n(x). Para vermos que esta definicao faz sentido, observemos que, para todos naturais m>n e todo x de X, Soma(k=n, m) 2^(-k)*f_k(x) <= Soma(k=n, m) 2^(-k) < Soma(k=n, inf) 2^(-k) = 2^(-n+1). Como esta desigualdade vale para to n e todo x de X, concluimos pelo criterio de Cauchy que a serie de funcoes Soma(n=1, inf) 2^(-n)f_n converge uniformemente em X para uma funcao f, de modo que nossa definicao de f faz sentido. Alem disto, como cada f_n eh continua, segue-se que 2^(-n)*f_n tambem eh, disto decorrendo, em virtude da convergencia da serie ser uniforme, que a funcao limite f eh continua em X. E da definicao da serie, eh imediato que f(x)>=0 para todo x de X. Para concluir, resta agora demonstrar que inf{f(x) | x estah em X} = 0. Em virtude da definicao dos conjuntos E_n, temos que cada x_k pertence a E_n se n<>k e nao pertence se n=k. Logo, D(x_k, E_n) = 0 se n<>k e >0 se n=k. A definicao de f acarreta entao que f(x_k) = 2^(-k)*f_k(x_k) < 2^(-k), pois 0<f_k(x_k)<1. Fazendo-se k -> inf, f(x_k) ->0, o que implica que inf{f(x) | x estah em X} = 0. Concluimos assim que, se X nao for compacto, entao existe uma f:X ->(0, inf), continua e positiva, mas tal que inf{f(x) | x estah em X} =0. Isto demonstra a proposicao. Artur __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. http://taxes.yahoo.com/filing.html ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================