On Wed, Mar 31, 2004 at 05:55:48AM -0800, Artur Costa Steiner wrote: > Eu sei que a demonstracao do que vou dizer tem em > qualquer livro de Algebra Linear. Mas, se alguem se > lembrar e nao for muito complicado (no momento naum > estou lembrado dos detalhes, mas acho que naum eh > muito trivial), seria possivel alinhavar a > demonstracao de que, se A eh uma matriz quadrada e P > eh seu polinomio caracteristico, entao P(A) = 0? > > Se A for diagonalizavel hah uma prova bem simples, mas > no caso geral eh mais complicado.
Se o corpo for o dos reais ou complexos, o conjunto das matrizes com espectro simples (nenhum autovalor repetido) forma um aberto denso e todas estas são diagonalizáveis. Ora, a identidade p_A(A) = 0, devidamente expandida, vira q(a11, a12, ..., ann) = 0 onde q é um certo polinômio de coeficientes inteiros. Se este polinômio se anula num aberto denso é pq ele é identicamente 0. Isto prova que p_A(A) = 0 para qualquer matriz e qualquer corpo de coeficientes. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================