--- Carlos bruno Macedo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Gostaria de ajuda nesses dois exercícios > > Provar que > > 1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1 > é um fechado ilimitado > com interior vazio em R^n x n > > 2) As matrizes ortogonais n x n formam um > subcontunto compacto de R^n x n >
2) O conjunto R^(n^2) eh Euclidiano, logo um subconjunto do mesmo eh compacto se, e somente se, for limitado e fechado (Teorema de Heine Borel). Seja O o conjunto das matrizes ortogonais n x n. Se M pertence a O, entao a norma de cada um de seus vetores linha ou coluna eh 1(um conhecido fato da algebra linear). Se definirmos a norma || de uma matriz como a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus termos, entao ||M|| = sqrt(n) para toda M de O. Segue-se automaticamente que O eh limitado. Suponhamos agora que N seja uma matriz pertencente ao fecho de O. Existe entao uma sequencia de matrizes {N_n} em O que converge para N. A sequencia dos vetores linha e coluna das matrizes de {N_n} converge, portanto, para o correspondente vetor linha ou coluna de N. A norma Euclidiana de um vetor do R^n eh uma funcao continua de R^n em R. Assim, se {v_n} eh uma sequencia de vetores linhas ou colunas das matrizes de {N_n}, temos que ||v_n|| -> ||v||, sendo v o correspondente vetor de N. Mas como ||v_n|| =1 para todo n, ||v_n|| ->1 e ||v|| =1. Todos os vetores linha e coluna de N tem portanto norma 1. Da Algebra Linear, isto implica que N seja ortogonal e pertenca a O. . Logo, O confunde-se com o seu fecho e eh fechado. Concluimos assim que O eh fechado e limitado, logo compacto. Artur __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Tax Center - File online by April 15th http://taxes.yahoo.com/filing.html ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================