na primeira figura: ----------------------- (area em amarelo) = (area do circulo menor) - 2*(area em verde)
(area em vermelho) = (area do quadrado) -
1/4*{(area do circulo maior) + [(area do quadrado)-(area circulo menor)]} -
(area em verde)
-----------------------na segunda figura: ----------------------- (area em laranja) = (setor circular PBQ) - 2*(triangulo PBO - area em azul) (area em verde) = (setor circular POQ) - (area em laranja) ----------------------
Como todos os lados do triangulo sao conhecidos (em funcao do lado do quadrado). Agulos e areas sao questao de braco.
A descricao da figura 2 vc encontra no link
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200310/msg00574.html
em uma menssagem do grande Claudio BUffara que ainda teve paciencia montruosa de me explicar em off o problema.
Em meu email anterior eu tinha feito confusao e atribuido a mensagem do link acima a outro fera, o Paulo Santa Rita que mandou uma mensagem sobre "lua algebrica", que tb vale a pena conferir.
E' muito genio pra keep track.
Valeu Super Buffara!
[]s, Auggy
From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM-L" <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!! Date: Tue, 13 Apr 2004 03:20:58 -0300
Eu desisto...
Tentei encontrar uma solução simples, como pedia o Eduardo, mas a melhor forma que vejo agora é calcular, por integral, a área verde e só depois encontrar a área amarela.
Minha idéia é pôr a circunferência de centro A na origem do sistema de coordenadas; o lado do quadrado não será mais x, e sim R; a equação da circunferência citada será x^2 + y^2 = R^2. A circunferência inscrita no quadrado terá equação: (x-R/2)^2 + (y+R/2)^2 = R^2/4. Os pontos de intersecção das equações são:
( R*(5 + sqrt(7))/8 ; R*(sqrt(7) - 5)/8 )
e
( R*(5 - sqrt(7))/8 ; -R*(5 + sqrt(7))/8 )
A área S amarela será dada por:
S = Pi * R^2/4 - 2*(Integral[- sqrt(R^2 - x^2)] dx - - Integral[- R/2 + sqrt(x*R - x^2)] dx)
O intervalo das integrais é [R*(5 - sqrt(7))/8 ; R*(5 + sqrt(7))/8].
Depois de muuuuuito trabalho algébrico (deixado para o Mathematica), voltando de R para x, chegamos à expressãozinha anexada a esta mensagem, por razões óbvias...
Dá para entender o porquê de a questão ser persistente...
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
----- Original Message ----- From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, April 11, 2004 3:12 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida persistente!!!
Obrigado pelo elogio à figura, Qwert.
Na verdade, o que tornou a minha solução errada foi não ter somado quatro
vezes a área vermelha, pois cada uma acabou sendo subtraída duas vezes. Pelo
que vejo, descobrindo a área vermelha, teremos a área amarela (que foi a que
pretendi calcular) e a diferença da área do círculo menor (de raio x) com
esta área amarela é, precisamente, a área verde.
Descobrir essa área vermelha é que não me parece muito fácil...
<< FigColor.gif >> << result.gif >>
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