Ola "Thiago" e demais colegas desta lista ... OBM-L,
A sua serie inicia para n=2. Claramente que :
4*log(4) > 2*log(2) e 4*log(4) > 3*log(3). E portanto : 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) < 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)). Logo : (1/2)*(1/log(4)) < 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3))
E Igualmente claro que :
8*log(8) > 4*log(4) , 8*log(8) > 5*log(5) , 8*log(8) > 6*log(6) e 8*log(8) > 7*log(7).
Invertendo e somando membro a membro, chegaremos a :
(1/2)*(1/log(8)) < 1/(4*log(4)) + 1/(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7))
Evidentemente que voce pode generalizar o passo acima, algo bastante facil. Apos isso note
que log(4) = 2*log(2), log(8)=3*log(2), ... Logo, voce podera colocar (1/2)*(1/log(2)) em
evidencia. Isso vai fornecer :
(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... )*(1/2)*(1/log(2)) < 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)) + ...
Como 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... diverge, entao, por comparacao, a sua serie diverge.
O "jeitao" da sua serie - 1/(n*log(n)) - claramente SUGERE uma comparacao com a serie harmonica.
Eis a razao de eu ter adotado este caminho. Mas existe muitos outros ...
De maneira geral, se A1, A2, ... e uma PA entao 1/A1 + 1/A2 + ... diverge. Isso evidencia que
em outros contextos pode ser mais conveniente usar uma outra serie divergente, tambem
aritmetica, porem nao a harmonica. Um outro fato notabilissimo e que se A1, A2, ... e uma PA
entao 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... converge. Assim, se mostrarmos que uma serie B1+B2+..
e tal que B1 + B2 + B3 +... < 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... onde A1, A2 e uma PA, entao concluimos
que B1 + B2 + B3... converge.
Estou falando de series de termos positivos. Os fatos acima podem ser facilmente provados e ficam
como exercicios
Por fim, talvez mais interessante que tudo isso e verificar que que a toda Progressao Aritmetica
A1, A2, A3, ... a serie 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... induz um TRIANGULO HARMONICO, isto e,
caracteriza-o univocamente. Um exemplo classico e o TRIANGULO DE LEIBNIZ :
1 1/2 1/2 1/3 1/6 1/3 1/4 1/12 1/12 1/4 ...
Se fizermos NIC = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... entao para cada coluna existe uma sequencia
C1, C2, ... que devolve NIC, isto e, o valor caracteriza precisamente o triangulo.
Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1902,150404
From: Thiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] serie divergente! Date: Wed, 14 Apr 2004 20:30:58 -0300 (ART)
Alguém sabe algum modo de mostrar que a série 1/(n.logn) é divergente "sem utilizar o critério da integral indefinida"???
Tentei por comparação com outras séries, pelo critério de Cauchy, blá blá blá... e etc...
Abraços
Thiago Ferraiol
obs: Por integral é simples de mostrar, mas acontece que peguei o livro de análise (vol1) do Elon, e >ele apresenta esse exercício antes de falar sobre integrais!
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