Notação: X[a] lê-se "X indice a" U[0,1] distribuicao uniforme no intervalo [0,1]
Sejam (X[ij], i,j = 1,2) variaveis aleatorias independentes identicamente distribuidas, X[ij] ~ U[0,1].
Calcular
P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } <= 1/2]
Para facilitar, vou chamar min{max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]}} de M. (e X11 estará subentendido que é X[11])
Bom pessoal, eu pensei que a probabilidade pedida pode ser calculada da seguinte maneira:
P[M = X11 e X11 <= 1/2] ou P[M = X12 e X12 <= 1/2] ou P[M = X21 e X21 <= 1/2] ou P[M = X22 e X22 <= 1/2]
Pela simetria, as 4 probabilidades são iguais Entao basta calcular 4*P[M = X11 e X11 <= 1/2]
Bom mas o evento M = X11 é equivalente a: X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}
Então
4*P[M = X11 e X11 <= 1/2] = 4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2] (I)
Bom ai que eu nao estou certo do que posso fazer. Para mim P[X11 = max{X11,X12}] = 1/2 (i) P[X11 = max{X11,X21,X22}] = 2/6 (ii) P[X11 <= 1/2] = 1/2 (iii)
E eu não sei se desmembro ou a expressao (I) por Bayes.
Ao que parece os eventos (X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2 não sao independentes enquanto (X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) me parecem ser.
Mas eu nao sei provar. Bom se isso for verdade, por Bayes:
4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22})|X11 <=1/2]*P[X11<=1/2] Mas com a condicao X11 <= 1/2 como ficam (i), (ii) e (iii) ? Como acabar o exercicio?
Muito obrigado -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye] "Now I will have less distraction" Leonhard Euler
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================