on 24.04.04 18:13, rafsanco at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Saudações ! > > Sou novato na lista, a qual admiro muito por abrigar > tantas pessoas talentosas e por incentivar a resolução > de questões tão interessantes e inteligentes. Ando com > problemas em um exercício que vi num número da Eureka! > (não recordo qual) e era acerca de triângulos: > > Demonstrar que em qualquer triângulo ABC, de lados com > medidas iguais a a, b e c que a³ + b³ + 3abc > c³. > (Tentei utilizar e combinar desigualdades, tais quais: > (a + b + c)³ > 0, (b + c - a)³ > 0, (c + a - b)³ > 0, > (a + b - c)³ > 0 e ainda (a + b)(b + c)(a + c) > abc, > além de outras, no entanto nada de interessante > apareceu) > > Ajudem-me por gentileza. > > Abraços, > > Rafael. > Oi, Rafael:
Duvidas da Eureka sao sempre bem-vindas na lista. Antes de mais nada, um pedido: procure nao usar caracteres especiais pois eles nao aparecem direito em alguns computadores (por exemplo, no meu). Assim, se voce quiser dizer x ao cubo, escreva x^3. Sobre o problema, sabemos que que c < a + b. Considere a funcao polinomial f(x) = x^3 - 3abx - (a^3+b^3). f(a+b) = (a+b)^3 - 3ab(a+b) - (a^3+b^3) = 0. Dividindo f(x) por x-(a+b), obtemos o quociente: g(x) = x^2 + (a+b)x + (a^2-ab+b^2), cujo discriminante eh igual a -3*(a+b)^2 < 0. Logo, a+b eh a unica raiz real de f(x). Isso significa que f(x) < 0 para x < a+b e f(x) > 0, para x > a+b. Em particular, como c < a+b, temos f(c) < 0, ou seja: c^3 - 3abc - (a^3+b^3) < 0 ==> a^3 + b^3 + 3abc > c^3. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================