on 24.04.04 22:55, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: >> >> Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). >> Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) >> possui um numero infinito de elementos. >> [...] > > Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n) > contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem > N naturais compostos consecutivos. > > []s,
Pegando um gancho na ideia do Fabio: um conjunto de inteiros positivos eh infinito se e somente se eh ilimitado. Assim, dado um inteiro positivo n qualquer, precisamos mostrar que existem primos consecutivos p e q tais que q - p > n. Por exemplo, sejam: p = maior primo que eh menor do que (n+1)! + 2; q = menor primo que eh maior do que (n+1)! + (n+1). Como (n+1)! + 2, (n+1)! + 3, ..., (n+1)! + (n+1) sao n numeros compostos consecutivos, temos que q - p > n e que, se p < m < q, entao m eh composto. Pra essa ideia funcionar, eh preciso que exista uma infinidade de primos, mas isso pode ser provado independentemente (alem da demonstracao ultra-tradicional de Euclides, a qual jah foi amplamente discutida aqui na lista, uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivos distintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si) []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================