> a soma das idades de um grupo de 7 pessoas é 332 anos. Mostre que nesse grupo podemos > escolher 3 pessoas cuja soma das idades é maior que 141 anos.
141/3 = 47 332/7 > 47 isso já dá uma noção de que tem algo de errado, como pode termos um conjunto de 7 elementos cuja média é > 47 e todo subconjunto de 3 elementos tem média 47? no mínimo é estranho... vamos formalizar melhor a idéia... Pegue as 3 pessoas mais novas (cuja soma das idades não deve exceder 141 por hipótese) e retire-as do grupo. Teremos um grupo de 4 pessoas com soma das idades maior ou igual 332-141 = 191. Nesse conjunto, retire a pessoa mais nova. A soma das idades desse grupo de 3 pessoas (as 3 mais velhas) é pelo menos 3/4 da idade do grupo de 4 pessoas que tinha idade maior ou igual 191. ou seja, as 3 pessoas mais velhas somam pelo menos (3/4)*191 > 143 anos. > num conjunto de 10 inteiros, podemos escolher um subconjunto de modo que a soma de seus > elementos é dívisível por 10. Considere a_1, ..., a_10 os elementos escolhidos se a_1 é múltiplo de 10, {a_1} serve como subconjunto, caso contrário {a_1}, {a_1, a_2}, ..., {a_1, a_2, ..., a_10} são 10 subconjuntos e nenhum deles tem resto 0 mod 10, logo há dois conjuntos, {a_1, ..., a_i} e {a_1, ..., a_j} (j > i) com mesmo resto mod 10. Então {a_{i+1}, ..., a_j} tem soma de resto 0 mod 10, ou seja, é um subconjunto com soma divisível por 10. [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================