on 28.04.04 15:43, Maurizio at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda: > > (=> é maior ou igual a) > > Prove que: > > 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 => 0 > Repare que o lado esquerdo eh um polinomio de 4o. grau em x, digamos f(x). Alem disso, para x = 0, -y, -z, -(y+z), f(x) = y^2z^2 = (yz)^2.
Ou seja, f(x) eh quadrado para 4 valores "distintos" de x. Isso nao garante que f(x) seja um quadrado, mas decididamente vale a pena investigar a possibilidade. Expandindo, obtemos: f(x) = 4x^4 + 8(y+z)x^3 + 4((y+z)^2+yz)x^2 + 4yz(y+z)x + y^2z^2. Do que isso pode ser o quadrado? O primeiro termo e o ultimo termo indicam que devemos tentar algo da forma: f(x) = (2x^2 + (ay+bz)x + yz)^2 O termo em x disso ai eh igual a 2yz(ay+bz)x, que deve ser igual a 4yz(y+z). Isso indica que a = b = 2. Testando, vemos que, de fato, f(x) = (2x^2 + 2(y+z)x + yz)^2, que eh sempre nao negativo. Veja que essa nao foi a solucao mais inteligente do mundo, mas na hora duma prova, nao dah pra ficar esperando a inspiracao surgir... []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================