Abaixo uma outra solucao p/ o problema 2 da Cone Sul.
segunda solucao:
Seja S a intersecao de AB com a reta PO, onde O eh o centro de C. Eh facil ver q AB eh perpendicular a PS. Dai conclui-se:
i) quadrilatero PMSA eh inscritivel (ang PSA = ang PMA = 90); ii) quadrilatero PNSB eh inscritivel (ang PSB = ang PNB = 90);
Como PA e PB sao tangentes a C, tem-se:
iii) ang ABQ = ang PAM = arco menor AQ/2; iv) ang PBQ = ang BAQ = arco menor BQ/2;
De i), ii), iii) e iv) tem-se:
v) ang MSP = ang PAM = ang ABQ = ang NPS; vi) ang NSP = ang PBQ = ang BAQ = ang MPS;
De v) e vi) conclui-se que os triangulos PMS e PNS sao congruentes, caso A.L.A. Ou seja, PMSN eh paralelogramo. Logo a reta MN corta o ponto medio PS (fixo).
[ ]'s
AA.
Cone Sul - Problema 2
"Dada uma circunferencia C e um ponto P exterior a ela, tracam-se por P as duas tangentes aa circunferencia, sendo A e B os pontos de tangencia. Toma-se um ponto Q sobre o menor arco AB de C. Seja M a intersecao da reta AQ com a perpendicular a AQ tracada por P e seja N a intersecao da reta BQ com a perpendicular a BQ tracada por P. Demonstre que, ao variar Q no arco AB, todas as retas MN passam por um mesmo ponto.
Solucao:
Sejam: H o pe da perpendicular de P a AB R e S as projecoes de N e M, respectivamente, a PH Q e T as projecoes de N e M, respectivamente, a AB
No triangulo PNM: PN = PB.sen(<PBN) (I)
QH = NR = PN.sen(<NPR) = PN.sen(<NBA) (quadrilat. NPBH inscrit.) => (por I)
QH = PB.sen(<PBN).sen(<NBA)
Da mesma forma encontramos:
TH = PA.sen(<PAM).sen(<MAB)
Como PA = PB, <PAM = <NBA e <PBN = <MAB, entao GH = TH
Logo, a intersecao de MN com a altura PH se da no ponto medio de MN, que chamamos de L, e LH eh base media do trapezio QNMT com bases NQ e MT. Entao LH = (NQ + MT)/2
Mas NQ = PH - PR = PH - PN.cos(<NPR) = PH - PB.sen(<PBN).cos(<NBA)
Da mesma forma:
MT = PH - PA.sen(<NBA).cos(<PBN)
e
NQ + MT = 2PH - PA.(sen(<PBN).cos(<NBA) + sen(<NBA).cos(<PBN)) =
= 2PH - PA.sen(<PBN + <NBA) = 2PH - PA.sen(<PBA) = 2PH - PH = PH
e LH = (NQ + MT)/2 = PH/2
Ou seja, todas as retas MN passam pelo ponto medio da altura PH.
[]'s
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