Meu caro Cláudio, essa solução ficou muito legal, mas muito legal
mesmo. Obrigado mais uma vez.
PS.: Só uma curiosidade minha: você é aluno (ou professor) de qual
universidade?
Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Oi, Eder:
Aqui vai uma solucao simplificada que leva em conta seus comentarios, alias, todos pertinentes.
Seja M = valor maximo atingido pela funcao |f'| no intervalo [a,b].
Obviamente, M >= 0.
Seja h:[a,b] -> R definida por:
h(x) = f(a) + M(x - a)
Entao:
h(a) = 0
e
h'(x) = M >= 0, para todo x em [a,b] ==> h eh nao-decrescente.
Seja k:[a,b] -> R definida por:
k(x) = f(x) - h(x)
Entao:
k(a) = f(a) - h(a) = f(a)
e
k'(x) = f'(x) - h'(x) <= |f'(x)| - M <= M - M = 0 ==> k eh nao-crescente.
Alem disso, f = h + k.
[]s,
Claudio.
on 01.06.04 08:36, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Meu caro Cláudio,
achei muito legal a forma com que você resolveu o problema, mas não consegui enteder o por quê de definir inicialmente f(0) = 0. Além disso, não consegui enteder também sua conclusão, ou seja, dada f:[a,b] -> R de classe C^1, basta considerarmos a função:
F:[0,1] -> R dada por: F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a) que recairemos no caso provado anteriormente. De fato, recaímos no caso anterior, mas o que nos garante que f(x) = g(x) + r(x), onde g é não crescente e r é não decrescente.
OBS.: Ao invés de definir h(x) = (M+1)x não seria melhor definir h(x) = Mx ? Pois assim teríamos h não descrescente e, consequentemente, k não cresecente, como pedido no problema. Isso foi só uma pergunta!!!, não sei se estou certo.
Cláudio_(Prática) <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Interessante esse problema!
Suponhamos, inicialmente, que o intervalo é [0,1] e que f(0) = 0.
Como f é C^1 em [0,1], f' existe e é contínua em [0,1].
Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x em [0,1]).
Então g também é contínua em [0,1] e, portanto, atinge seu valor máximo, igual a M, nesse intervalo.
É claro que M >= 0.
Seja h:[0,1] -> R dada por:
h(x) = (M+1)x.
h é claramente crescente em [0,1] e h(0) = 0.
Seja k:[0,1] -> R dada por:
k(x) = f(x) - (M+1)x.
k eh de classe C^1 e k(0) = 0.
Além disso, para todo x em [0,1],
k'(x) = f'(x) - (M+1) <= |f'(x)| - (M+1) < 0.
Logo, k eh decrescente em [0,1].
É claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) + k(x).
Ou seja, o resultado está provado para uma funçao definida em [0,1] com f(0) = 0.
A generalização para o caso geral é fácil.
Se f:[a,b] -> R é de classe C^1, basta considerar a função:
F:[0,1] -> R dada por:
F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a)
que você recai no caso provado acima.
É claro que F é de classe C^1 em [0,1] e F(0) = 0.
[]s,
Claudio.
----- Original Message -----
From: Lista OBM <mailto:[EMAIL PROTECTED]>
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, May 31, 2004 8:50 AM
Subject: [obm-l] função de classe C^1
Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o seguite problema:
Mostre que se f: [a,b] --> é de classe C^1, então f pode escrita como a soma de uma função não crescente com uma uma função não decrescente.
Grato, Éder.
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