Suponhamos que f seja naum decrescente. Se a eh um ponto interior de J, entao o fato de f ser monotona implica as existencias de um limite Le e de um limite Ld de f aa esquerda e aa direita de a, com Le<=Ld. Se f for descontinua em a, entao Le<Ld. Como f(x)<=Le para x<=a e f(x) >= Ld para x>=a, x em J, concluimos que f(J) nao contem nenhum elemento de (Le, Ld). Mas como a eh ponto interior de J, f eh definida em um intervalo [a-e, a+e], com e>0, e para o qual f(a-e)<=Le e f(a+e)>=Ld. Isto, porém, contraria a hipotese de que f(J) seja um intervalo, mostrando que f eh continua em a. Se a for ponto extremo de J, podemos aplicar o mesmo argumento para a esquerda ou para a direita de a. Se f naum for crescente, podemos aplicar um argumento analogo, ou, entao, aplicar a conclusao jah obtida para concluir que -f e, portanto, f, sao continuas em J.
Talvez seja tambem possivel encontrat uma prova bonita com base no fato de que o conjunto das descontinuidades de f em J eh enumeravel. Artur --- Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Gostaria que alguém me ajudasse com o problema > abaixo: > > Seja f: J --> R uma função monótona, definida no > intervalo J. Se a > > imagem f(J) é um intervalo, prove que f é contínua. > > Obs.: Tentei supondo o contrário, mas não > consegui!!! > > Grato, Éder. > > > > --------------------------------- > Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. > Instale agora! __________________________________ Do you Yahoo!? Friends. Fun. Try the all-new Yahoo! Messenger. http://messenger.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================