1) Quantos sao os pares nao-ordenados de inteiros positivos tais que, em cada par, a soma do produto dos numeros do par com a soma dos numeros do par com o modulo da diferenca dos numeros do par seja igual a 20?
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 RESOLUÇÃO POSSÍVEL: Uma vez que os pares são não ordenados, teremos que (x, y) = (y, x), para todos x e y inteiros positivos. A fim de eliminar soluções repetidas, como por exemplo em: (4, 3) e (3, 4), vamos considerar os valores x e y em ordem decrescente com x e y inteiros positivos, ou seja: x >= y > 0 (i). De acordo com o enunciado devemos ter: xy + (x + y) + |x - y| = 20 Pela condição (i): x >= y => x - y >= 0 => |x - y| = x - y, logo: xy + x + y + x - y = 20 xy + 2x = 20 x(y + 2) = 20 Fazendo a = x e b = y + 2, teremos: a.b = 20, onde x = a e y = b - 2, como x e y positivos (ii) Partindo de (ii), encontramos as seguintes possibilidades: a = 1 e b = 20: x = 1 e y = 18 - não satisfaz a condição (i) a = 2 e b = 10: x = 2 e y = 8 - não satisfaz a condição (i) a = 4 e b = 5: x = 4 e y = 3 - satisfaz a condição (i) a = 5 e b = 4: x = 5 e y = 2 - satisfaz a condição (i) a = 10 e b = 2: x = 10 e y = 0 - não satisfaz a condição (i) a = 20 e b = 1: x = 20 e y = -1 - não satisfaz a condição (i) Não há a necessidade de testar os valores tais que a e b são inteiros negativos, pois neste caso teríamos x = a < 0 e y = b - 2 < 0, o que não satisfaz a condição (i). RESPOSTA: Alternativa b (4 e 3, 5 e 2). Abraços, Rogério Moraes de Carvalho ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
