Acho que consegui provar, dêem uma conferida:
provemos que:
| inf g(x) - inf h(x) | <= sup |g(x) - h(x)|
Façamos sup |g(x) - h(x)| = c. Daí tem-se que
|g(x) - h(x)| <= c ==> -c <= g(x) - h(x) <= c ==> h(x) - c <= g(x) <= h(x) + c ==> inf[h(x) - c] <= inf g(x) <= inf[h(x) + c] ==> -c <= inf g(x) - inf h(x) <= c ==> |inf g(x) - inf h(x)| <= c = sup|inf g(x) - inf h(x)|.
De forma inteiramente análoga, prova-se que |sup g(x) - sup h(x)| <= sup |g(x) - h(x)|. Isso prova que F e S são contrações fracas.
Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Gostaria de saber se alguma (ou as duas) das funções abaixo é uma contração fraca:F, S: B(X;R) --> R, definidas por F(f) = inf_{x em X} f(x) e S(f) = sup_{x em X} f(x) onde X é um conjunto qualquer.Notação: (i) B(X;R) = {f: X --> R ; f limitada};(ii) R = {números reais};(iii) _{x em X} = x estah variando em X.Grato, Éder Franklin da Silva.PS.: Provei que F e S são contínuas usando imagem inversa de abertos, mas o problema é que este exercício estah no capítulo anterior desse assunto. Não sei há outra forma de provar que as funções acima são contínuas.
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