Bruno França dos Reis wrote:
Definindo os eixos como vc definiu as equações das duas curvas serão y = sqrt(a^2/4-x^2) e y = sqrt(a^2-x^2) - a/sqrt(2). (considerando apenas a região acima do eixo, ie, onde y>0). A área entre 2 curvas é a integral da diferença entre as duas funções, ie, integral de sqrt(a^2/4-x^2) - sqrt(a^2-x^2) + a/sqrt(2). Integrando apenas o lado direito e depois multiplicando por 2 (pq a função é par, ie, f(-x) = f(x)), temos q os limites de integração serão 0 e a coordenada x do ponto onde as curvas se interceptam (que NÃO é a/2), e vale a*sqrt(2)/8 (para encontrar esse valor faça sqrt(a^2/4-x^2) = sqrt(a^2-x^2) - a/sqrt(2)) . Então a área é 2* (integral de sqrt(a^2/4-x^2) - sqrt(a^2-x^2) + a/sqrt(2)), onde a integral é definida de 0 a a*sqrt(2)/8.-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- Hash: SHA1
Ola
Como já disse, estou no 3o. ano, entao NAO aprendi cálculo integral "oficialmente"... Já li sobre em vários livros, entre eles Fundamentos de Matematica Elementar, do Iezzi.
Um problema que um amigo meu me havia proposto e que não sei se cheguei na resposta (ele tb nao sabe a resposta) era o seguinte:
Tem uma figura com uma área hachurada, devemos calcular o valor dessa área. Tentarei descrever a figura:
Um quadrado de lado "a". Com o compasso no vértice inferior esquerdo, traça-se um quarto de circunferência (C1) (interno ao quadrado), de raio "a" também. Com o compasso no centro do quadrado, traça-se uma circunferência (C2) de raio "a"/2.
Hachura-se a intersecção de C2 com a parte externa de C1.
qual a área em funcao de "a"?
fiz o seguinte:
um par de eixos sendo o eixo x coincidente com a diagonal do quadrado sup.esq.-inf.dir. O eixo y seria a outra diagonal do quadrado, de forma que há simetria. Calculei a equação das circunferência e fiz uma integral definida de -a/2 até a/2, subtraí o que sobrava do quadrado e da outra circunferência, e meu Maple disse algo que tenho medo de colar aqui. Era horrível! Tinha, se nao me engano, sqrt(-i)... coisas horriveis! muito, muito feio... nao sei como pode uma simples área ter dado uma resposta tao grande e feia.
é pra ser isso mesmo? errei em cálculos? tem outro jeito de fazer?
até
bruno
- -- Bruno França dos Reis
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O valor da integral é a^2/64*(8arcsen(sqrt(2)/4) - 32arcsen(sqrt(2)/8) - 8 + sqrt(31)-sqrt(7)) = 0,0356591*a^2 (aproximadamente), logo o valor da área é o dobro e vale portanto aproximadamente 0,071*a^2.
Se não errei em nenhum calculo deve ser isso.... tentei explicar o melhor possivel porque vc disse q não aprendera (oficialmente) calculo, mas não sei se deu pra entender...
Rafael ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
