Oi pessoal da lista, principalmente o Artur que me deu umas dicas na seguinte demonstração:
Se X é um espaço de Baire e D é um subconjunto de X que seja de 1a categoria (magro) e denso em X, então não existe nenhuma função f:X->R contínua em D e descontínua fora de D. O Artur deu as seguintes dicas a seguir. Eu acho que consegui provar a parte (1) (espero que esteja certo), mas de fato me enrolei na (2), com aquele conceito de oscilacao. Seria possivel ir um pouco mais longe? Ou sugerir outra abordagem? Esta prova por oscilacao me parece um tanto complicada, embora o Artur tenha assegurado que, na realidade, é até simples: Obrigada. Ana -------------Dicas do Artur---------------- Mostre que: 1) Se X eh um espaco de Baire, entao subconjuntos magros (isto eh, de primeira categoria na classificacao de Baire) que sejam densos em X naum sao G-delta. 2) Se X eh um espaco topologico qualquer e f eh uma funcao de X em R, entao o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua eh um G-delta. (1) e (2) mostram que a proposicao eh verdadeira. Para mostrar (1), uma forma facil eh mostrar que, em espacos de Baire, conjuntos que naum sejam magros mas tenham interior vazio naum sao F-sigma. Isto prova o desejado porque..... Para provar (2), acho que eh um pouco mais complicado (pelo menos, ateh onde eu consigo ver). Uma forma que me parece interessante eh considerar o conceito de oscilacao, o qual se aplica a funcoes definidas em um espaco topologico X e que tenha valores em R (na realidade, os valores podem estar em qualquer espaco metrico). Se A eh um subconjunto de X, a oscilacao de f em A eh W(A) = sup {|f(x1) - f(x2)| : x1 e x2 estao em A}. Ou seja, W(A) eh o diametro do conjunto imagem f(A). Se x estah em X, a oscilacao de f em x eh dada por w(x) = inf {W(V) : V pertence a U}, sendo U a colecao de todas as vizinhancas de x. (Na realidade, podemos nos restringir a vizinhancas basicas, como bolas abertas se X for um R^n. Neste caso, podemos inclusive nos restringir aa colecao enumeravel das bolas abertas de centro em x e raio 1/n, n natural.). Um fato interessante, cuja demonstracao naum eh dificil e eh instrutiva, eh que f eh continua em x se, e somente se, w(x) = 0. De posse destes conceitos, mostre entao que: (2a) - para todo r>0, o conjunto C(r) = {x em X : w(x) < r} eh aberto em X. Seja C o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua. Considere a colecao de conjuntos abertos {C(1/n) : n eh natural}. Uma certa operacao realizada nesta colecao dah um resultado que tem a cara de C (2b). Temos entao que (2a) e (2b) provam 2, e acabou. __________________________________ Do you Yahoo!? Vote for the stars of Yahoo!'s next ad campaign! http://advision.webevents.yahoo.com/yahoo/votelifeengine/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================