Eu perdi o assunto original. Mas para mostrar que se um se um subconjunto de R tem um número finito de pontos de acumulação então ele é enumerável, observemos que, se A eh um subconjunto naum enumeravel, entao A tem pontos de condensacao. Como o conjunto de tais pontos de condensacao nunca eh enumeravel, ele eh infinito. E como todo ponto de condensacao eh automaticamente ponto de acumulacao, segue-se que A possui uma infinidade de pontos de acumulacao. Logo, subconjuntos que possuam um numero finito de pontos de acumulacao sao enumeraveis. Na realidade, se o conjunto dos pontos de acumulacao de um conjunto C for enumeravel, entao C eh enumeravel. Mesmo argumento do caso finito.
Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca de x contiver uma quantidade naum enumeravel de elementos de A. Artur --------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] Prova da IMC - 1o. dia (correcao) Data: 26/07/04 14:47 Outra forma de resolver o problema da IMC é provar que se um subconjunto de R tem um número finito de pontos de acumulação, então ele é enumerável. Daí, basta tomar um ponto e acumulação a, diferente de zero, do conjunto S, um inteiro positivo n tal que n > 2/|a| e n elementos distintos do intervalo (a-|a|/2,a+|a|/2), cuja soma será > 1. []s, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, July 26, 2004 12:43 PM Subject: Re: [obm-l] Prova da IMC - 1o. dia (correcao) > (um detalhe a + pra esclarecer) > > > > > > > > > > > > > > > > talvez a parte em que eu afirmo que podemos tomar x > 0 não esteja bem > clara, vou explicar isso melhor (se é que alguém se interessa, hehehe) > fato: o conjunto dos racionais é enumerável. > suponha que X = {x : x em S, x > 0} seja não-enumerável (se isso não for > verdade, podemos pegar o conjunto X = {x : x em S, x < 0} como > não enumerável). > > então uma das duas vale > i) existem dois racionais q, r > 0 com q < r e [q, r] inter X é não > enumerável (que é o assumido na minha dem.) > ii) os único intervalos [q, r] tq [q, r] inter X é não enumerável são > aqueles em que q = 0. > > se (ii) é o caso, então podemos tomar um r tq [0, r] é não enumerável > (sem perda de generalidade, assuma r = 1). > Agora tome intervalos do tipo [0, q] com q = 2^(-i), i > 0 inteiro. > se [q, r] é não-enumerável, (i) vale, caso contrário, > cada [2^(-i-1), 2^(-i)] inter X é enumerável e, portanto, > [0, 1] inter X = União_{i = 0}^oo {[2^(-i-1), 2^(-i)] inter X} é uma > união enumerável de conjuntos enumeráveis e, portanto é enumerável. > > acho que agora está ok. > > [ ]'s > > > Se S é não-enumerável, há um intervalo [x, y) onde [x, y) inter S é > > infinito, caso contrário, os conjuntos [i, i+1) inter S, com i > > inteiro, são finitos e, portanto, enumeráveis, como uma união > > enumerável (já que os intervalos [i, i+1) são enumeráveis) de conj. > > enumeráveis é enumerável, S seria enumerável. > > > > podemos assumir que x, y > 0 sem perda de generalidade, pois podemos > > inverter os sinais de todos os elementos de S e escolher sempre um > > intervalo com x, y > 0. > > > > seja k >= teto{1/x} > > tome s_1, ..., s_k em [x, y) (k elementos distintos de [x, y) formam > > um conjunto finito), é claro que > > s_1 + ... + s_k > k*x >= (1/x)*x = 1. > > > > pra completar, note que o conjunto S = {2^-i | i > 0 inteiro} > > é tal que qualquer soma de quaisquer k elementos é menor que 1, basta > > ver que se X = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... > > 2X = 1 + 1/2 + 1/4 + ... > > 2X - X = 1 => X = 1. > > > > [ ]'s > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================