Nao vou dar detalhes, mas so uma ideia de como pode ser feito. Vou assumir que A e B sao subconjuntos de R^{n}. Se voce quiser fazer pra qualquer espaco metrico, tente adaptar a notacao.
AxB e fechado: Sugestao=> Acho que se voce usar as funcoes de projecao de f: AxB -> A e g: AxB-> B e usando o fato de que elas sao continuas, e o teorema: "Seja W um subconjunto fechado de A. Entao, f: AxB->A e uma funcao continua se e somente se a imagem inversa de W e fechado." Chame a imagem inverse de W de f^(-1)(W). "Seja W um subconjunto fechado de B. Entao, g: AxB->B e uma funcao continua se e somente se a imagem inversa de W e fechado." Chame a imagem inversa de W de g^(-1)(W). Observe que f^(-1)(W) U g^(-1)(W) = AxB e lembre que a uniao de fechados e fechado. Portanto, AxB e fechado. Depois, resta mostrar que AxB e limitado. Tome z=(x,y) um ponto de AxB. Entao, devemos mostrar que existe uma constante c tal que |z| <= c para todo z em AxB. Para isso, podemos usar a norma da soma. Seja, x um ponto de A e y um ponto de B. Como A e B sao compactos, portanto limitados, temos que existem constantes c1 e c2 tais que: |x| <= c1 (Norma da soma: x=(x1,x2,...,xn) => |x|=|x1| + |x2| + .. + |xn|) |y| <= c2 (Norma da Soma : y=(y1,y2,...,yn) => |y| = |y1| + ... + |yn|) Portanto, |z|=|(x,y)| = |x| + |y| <= c1 +c2 = c, onde usei a norma da Soma em A , B e AxB. Se tiver algum erro, podem me corrigir. Eu nem fiz nada no papel porque estou num restaurante agora e escrevi meio rapido. Regards, Leandro Los Angeles, CA. -----Original Message----- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of eritotutor Sent: Thursday, September 09, 2004 10:12 AM To: obm-l Subject: [obm-l] compactos Boa tarde, Gostaria, por favor, da soluçao do seguinte: Prove que o produto cartesiano de dois conjuntos compactos eh compacto. Obrigado __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================