Ok Paulo! O caminho que eu vinha seguindo travava pois o máximo que eu mostrava era que todo subgrupo de G é normal em G (mostrando que existe um homorfismo de G em S_3 que não é injetor e cujo núcleo está num subgrupo H qualquer de G, logo H é normal. Vale para todo H pois o homorfismo construído era G --> G/H --> S_3). Eu não enxerguei nenhuma solução a partir disso, pois, como sabemos, os quatérnios +-1, +-i, +-j, +-k constituem um grupo não abeliano em que todo subgrupo é normal.
[]s, Daniel Paulo Santa Rita ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Ola Daniel e demais >colegas desta lista ... OBM-L, > >Aqui vai uma dica ( por favor, complete os detalhes ) : Z/9Z e abeliano, >claramente, pois e ciclico. Por outro lado, Z/3Z X Z/3Z e abeliano, conforme >se verifica facilmente. Eu afirmo que, a menos de isomorfismos, estes sao >os unicos grupos de ordem nove ... > >Realmente, pois se G e um grupo de ordem nove que e ciclico entao ele e >isomorfo a Z/9Z. Logo, abeliano. Se G nao e ciclico, pelo TEOREMA DE >LAGRANGE todo elemento de G diferente da unidade tem ordem 3. Seja g um >elemento ( diferente da unidade ) de G. Entao, claramente, existe h em G - >. > >Eu afirmo que : > >1) G = >2) hg = gh > >Logo, G e abeliano. > >Para provar 1) basta voce fazer combinacoes com "g" e "h" e usar razoes >elementares. Para provar 2) mostre que qualquer suposicao sobre hg ( por >exemplo : hg = (g^2)(h^2) ) conduz a absurdos. > >Um Abraco >Paulo Santa Rita >5,2058,160904 > >>From: [EMAIL PROTECTED] >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: [EMAIL PROTECTED] >>Subject: [obm-l] Grupo de ordem 9 é abeliano >>Date: Thu, 16 Sep 2004 15:37:54 +0000 >> >>Como provar que todo grupo G de ordem 9 é abeliano, sem usar Sylow nem >>Cauchy (embora possa-se mostrar facilmente que existe elemento de ordem 3 >>em >>G)? >> >>[]s, >>Daniel > >_________________________________________________________________ >MSN Messenger: converse com os seus amigos online. >http://messenger.msn.com.br > >========================================================================= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================