Ola Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas o seguinte resultado sobre limites iterados:
Se lim f(x,y) = L quando (x,y) -> (a,b) e se existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x -> a e h(x) = lim f(x,y) quando y -> b entao lim ( lim f(x,y)) = L y->b x->a Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro de Calculo de Tom Apostol, volume 2. Deve ser facil, mas tentei fazer de varios modos e cada prova que conseguia tinha algum erro que a invalidava. Ninguem da turma fez e a professora falou que realmente nao tinhamos entendido limites. ----- Uma ideia que tive foi: Como existe o limite bidimensional entao, por definicao, para todo eps>0, existe d>0 tal que [1] ----- 0<||(x,y)-(a,b)||<d implica em [2] ----- |f(x,y)-L|<eps. Suponha que vale [1] entao 'Claramente' lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo x->a [L - eps, L + eps] sempre que 0<|y-b|<d Nao sei provar isto, principalmente a parte do 'sempre que', alguma dica? Fazendo uma figura fica mais ou menos evidente, ateh porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo ]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y) deve estar no intervalo [L-eps,L+eps] Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps] sempre que 0<|y-b|<d eh afirmar que 0<|y-b|<d acarreta |g(y)-L|<eps, que significa que lim g(y) = L y->b isto eh lim ( lim f(x,y)) = L y->b x->a que eh o que quero mostrar. ----------- Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso encontrar essa demonstracao na WWW. [ ]'s Eric ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================