On Sat, Sep 25, 2004 at 07:57:35PM +0000, Edward Elric wrote: > > Ah desculpe, nem vi que digitei errado: > eh x² - 2y² = -1 > eu tinha digitado +...
Esta é a famosa equacão de Pell; voce pode ler sobre ela em qualquer livro basico de teoria dos numeros. Tambem saiu um artigo recentemente numa Eureka. Considere Z[a] = { x + ya; x, y inteiros }, a = sqrt(-2) = i sqrt(2). Para z = x + ya em Z[a], defina N(z) = z * conjugado(z) = x^2 - 2 y^2. É bem fácil verificar que N(z1 z2) = N(z1)*N(z2). Estamos procurando as solucões de N(z) = -1, ou seja, os pontos de Z[a] sobre a hipérbole x^2 - 2y^2 = -1. É bem claro que N(1+a) = -1. Assim N(+-(1+a)^n) = -1 para qualquer inteiro ímpar n e N(+-(1+a)^n) = 1 para qualquer inteiro par n. Queremos provar que estas são as únicas solucões Suponha por absurdo que existam outras e seja (x0,y0) a primeira solucao fora desta família com x0, y0 > 0 (primeira = x0 mínimo). Claramente (1+a)^(-2) * (x0 + y0 a) é outra solucão, o que implica que a coordenada x desta solucão é negativa. Basta agora testar um número finito de casos para ver que isto não acontece. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================