1)Seja f: R^2 em R definida por:
f(x,y) = (xy^2)/x^2 + y^4, se (x,y) diferente de (0,0)
= 0, se (x,y)=(0,0)
Determine o conjunto de pontos onde f eh continua.
f(x,y) = (xy^2)/(x^2 + y^4), se (x,y) diferente de (0,0)
= 0, se (x,y)=(0,0)
Determine o conjunto de pontos onde f eh continua.
Em R^2 - {(0,0)}, f eh dada pela relacao entre duas funcoes continuas,
sendo que a do denominador nunca se anula. Logo, f eh continua.
Sobre a parabola x = y^2, temos para (x,y) <>(0,0) que f(x,y) = (y^4)/(y^4 +
y^4)| = 1/2, de modo que, sobre esta parabola, f(x,y) -> 1/2 <> f(0,0)
quando (x,y) -> (0,0). Logo, f eh descontinua em (0,0) e o conjunto de seus
pontos de continuidade eh R^2 - {(0,0)}.
2) Prove que a serie:
somatório com n variando de 1 a infinito de
x/(n(1+nx^2)) converge uniformemente em toda reta real.
Para cada n, temos uma funcao f_n, impar e diferenciavel, de x. Temos que
f_n(0) = 0 e que f_n(x) -> 0 quando x -> oo. Diferenciando, concluimos que
em [0, oo) f_n apresenta um maximo absoluto em x_m = 1/raiz(n), o qual
acarreta f_n(x_m) = 1/(2n*raiz(n)). Como f_n eh impar, temos entao para todo
real x que |f_n(x)| <= 1/(2n*raiz(n)). A serie Soma [1/(2n*raiz(n))] =
(1/2)* Soma(1/(n^(3/2)) converge, pois 3/2 >1 . O teste M de Weierstrass
mostra-nos entao que a serie de funcoes dada converge uniformemente em toda
a reta real.
Artur
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