on 12.10.04 02:00, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Eu estava comendo mosca. Se G é um grupo abeliano no qual todo elemento > salvo a unidade tem ordem 2, então G tem 2^n elementos. Esse resultado segue > do teorema de Cauchy. Porém ainda não dá para assegurar que dado n qualquer > seja possível formar um grupo com 2^n elementos nessas condições, embora até > n=3 tenha dado certo. > Que tal (Z_2)^n = espaco vetorial das n-uplas ordenadas cujas componentes sao elementos de Z_2, ou seja, 0 ou 1, com a operacao de soma componente a componente e tal que 0+0 = 1+1 = 0 e 0+1 = 1+0 = 1? A hipotese de G ser abeliano e o teorema de Cauchy tambem sao desnecessarios. Todo grupo finito G em que os elementos distintos da identidade tem ordem 2 eh necessariamente abeliano e tem ordem 2^n para algum n.
Dados a e b em G, teremos a^2 = b^2 = e ==> a^2b^2 = aabb = e. Tambem (ab)^2 = abab = e. Ou seja, aabb = abab e cancelando a na esquerda e b na direita obtemos ab = ba, o que prova que G eh abeliano. Agora, tomemos um conjunto minimal de geradores do grupo G (uma "base", por assim dizer) x_1, x_2, ..., x_n. Cada elemento de G pode ser expresso de forma unica da forma x_1^a_1*x^2^a_2*...*x_n^a_n, onde a_i eh um inteiro nao-negativo para 1 <= i <= n. Levando em conta que x_i^2 = e, vemos que podemos restringir cada a_i ao conjunto {0,1}. Isso dah 2 alternativas para cada a_i, num total de 2^n alternativas, uma para cada elemento de G. Logo |G| = 2^n. []s, Claudio. > [EMAIL PROTECTED] escreveu: >> >> É fácil mostrar que se G é um grupo abeliano, então ou não existe nenhum >> elemento de ordem 2 em G, ou então existe um número ímpar de elementos desse >> tipo; basta observar que juntamente com a unidade eles formam um subgrupo H >> de G e então usar Lagrange em cima de um subgrupo gerado por qualquer >> elemento (diferente da unidade) de H. >> >> No entanto, dado um x ímpar qualquer, nem sempre é possível formar um grupo >> abeliano que tenha x elementos de ordem 2; pelo menos eu desconfio disso. >> Fazendo algumas computações, consegui formar grupos abelianos com 1 e 3 >> elementos de ordem 2, mas ao inserir um 4º elemento, acabei terminando com 7 >> no total, ou seja, não consegui formar um grupo com 5 elementos de ordem 2. >> >> Enfim, alguém saberia dizer mais a esse respeito? Existe alguma regularidade >> na formação de grupos abelianos com elementos de ordem 2 (para facilitar a >> vida, considere um grupo onde todos os elementos diferentes da unidade têm >> ordem 2), isto é, os números possíveis de elementos desses grupos? >> >> []s, >> Daniel >> ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================