on 08.10.04 15:54, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: >> O problema a seguir eh trivial? >> >> Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. >> (I = matriz identidade) >> >> Problema adicional: >> Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos >> dizer sobre BA? > > Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA > donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre > um subespaço de dimensão m. > > Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B > como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. > O que fica faltando é provar o seguinte lema: > > Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V > nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: > > (a) T é injetora; > (b) T é sobrejetora; > (c) T é inversível. > > Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos > e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer > livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas > as seguintes hipóteses são necessárias: > > Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. > Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. > > A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das > casas de pombos lineares algo não trivial. > > []s, N. > > Oi, Nicolau:
Obrigado pela resposta. Voce iluminou um novo angulo do problema. Para o primeiro problema, eu havia pensado em usar um resultado que diz respeito as condicoes minimas necessarias para um semi-grupo ser um grupo. Acho que o Domingos mencionou algo a respeito. Em linguagem de matrizes seria o seguinte: Seja M um conjunto de matrizes quadradas nxn (n arbitrario), fechado em relacao ao produto usual de matrizes (que sabemos ser associativo) e com as seguintes propriedades: 1) Existe I em M tal que A*I = A, para toda A em M; 2) Para cada A em M, existe B em M tal que A*B = I. Entao, para cada A em M vale I*A = A e dada B tal que A*B = I, tem-se B*A = I. Tomemos A em M. Seja B tal que A*B = I. Como B estah em M, vai existir C em M tal que B*C = I. Entao, A = A*I = A*(B*C) = (A*B)*C = I*C. Logo, B*A = B*(I*C) = (B*I)*C = B*C = I. Alem disso, I*A = (A*B)*A = A*(B*A) = A*I = A. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================