--- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Aqui vai a generalizacao de um problema que mandei > pra lista na semana > passada: > > Prove que nao existem inteiros positivos n, m, k, > com m > 1, tais que: > 2^n + 3^n = k^m > > []s, > Claudio. > > Ola,
Vamos por partes, desta vez vamos considerar apenas o caso de n = impar. Neste caso podemos usar a fatoração: 3^n + 2^n = (3 + 2) * S(n), onde S(n) = 3^n-1 -2*3n-2 +2^2*3^n-3 + ... + 2^n-1 Note-se que k^m é divisível por 5, porque aparece o termo (3 + 2) na fatoração. E o fator 5 deve aparecer com grau m se k^m for uma raiz exata grau m, isto é: k^m = 5^m * x^m Agora reescrevendo: k^m = 3^n + 2^n = (5-2)^n + (5-3)^n = 2*5^n -n*(3+2)5^n-1 + ... +n*5(3^n-1 + 2^n-1) -3^n -2^n 2*(k^m) = 2*(3^n + 2^n) = 2*5^n -n*(3+2)5^n-1 + ... +n*5(3^n-1 + 2^n-1) = P1 Observando o último termo em P1, n*5(3^n-1 + 2^n-1),notamos que: n-1 é par por hipótese. Sem sermos rigorosos e apenas enumerando as potências de 2 e 3, vamos afirmar que a soma de duas potencias pares de 3 e 2 nunca é divisível por 5: n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 2^n: 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ... 3^3: 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 177147 531411 ... De fato, para n par 3^n + 2^n não é fatorável na forma (2 + 3) * S´(n). Todos os termos da soma P1 são divisíveis por 5^n-z, portanto, todos os termos são divisíveis por 5 pelo menos duas vezes, exceto o último termo, n*5(3^n-1 + 2^n-1), que: - se n for múltiplo de 5 será divisível por 5 mais de uma vez; - se n não for múltiplo de 5 será divisível por 5 apenas uma vez; De fato: 3^2 + 2^3 = 8 + 27 = 35 = 7*5 3^5 + 2^5 = 275 = 11 * 5^2 Vamos considerar por enquanto apenas o caso de n ímpar não divisível por 5. Neste caso P1 é divisível por 5 apenas uma vez, já que todos os termos da soma são divisíveis por 5 mais de uma vez e um único termo é divisível uma vez. Isto já é suficiente para provar este caso, já que 5 aparece com grau 1 em P1 e necessariamente deveria aparecer com grau m. Agora falta n ímpar divísível por 5 e n par... Sds, Demétrio > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================