Um grande número, N de pessoas é submetido a um exame de sangue. Este pode ser efetuado de duas maneiras, (i) cada pessoa pode ser testada separadamente, neste caso, são necessários N testes; (ii) as amostras de sangue, de K pessoas podem ser misturadas e analisadas em conjunto. Se o teste é negativo, esse único teste é suficiente para as K pessoas. Se o teste é positivo, cada uma das K pessoas deve ser testada separadamente, e ao todo K + 1 testes são necessários para as K pessoas. Suponha que a probabilidade p de que o teste seja positivo seja a mesma para todas as pessoas e que estas sejam estocásticamente independentes. a) Qual é a probabilidade de que o teste para uma amostra misturada de K pessoas seja positivo? b) Qual é o valor esperado do número, X, de testes necessários, sob o plano (ii)? c) Determine uma equação para o valor de K que minimize o número esperado de testes sob o segundo plano. (Não tente soluções numéricas) d) Mostre que esse K está próximo de 1/p^1/2 e, então, que o número mínimo esperado de testes está em torno de 2Np^1/2 (Essa observação é devida a M. S. Ralff)
NOTA: Este problema é baseado numa técnica desenvolvida durante a Segunda Guerra Mundial, por R. Dorfman. No exército, Dorfman obteve economia de até 80%. O aparecimento deste problema despertou uma atenção bastante ampla e conduziu a várias generalizações bem como a novas aplicações industriais e biológicas. O principal aperfeiçoamento consiste em introduzir mais que dois estágios.............. ______________________________________________ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================