Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é integravel.
Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente não é contínua.
Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que eu errei. Já vou avisando para ter paciência já que meus conhecimentos sobre integral de Lebesgue tem medida nula...
Inicialmente eu pensei em definir f(x, y) para todo R^2. Algo como f(x, y) = exp{-x^2 - y^2} que é positiva para todo x, y e tem volume finito (por sinal, o volume sobre todo R^2 é PI!). Sem dúvida f é bem comportada. A idéia então era integrar uma função bem comportada num conjunto muito mal comportado! Eu achava que com integrais de Lebesgue isso seria sempre possível, mas talvez meu argumento falhe pois só depois que esse meu professor falou que eu percebi que é necessario que o conjunto seja mensurável para que eu aplique a minha idéia. Parece então que se A é mensurável então A não pode satisfazer as características enunciadas e isso pode ser demonstrado pelo meu argumento da integral, certo?
O problema é que não podemos afirmar que A é mensurável e portanto f pode ser bem comportada no R^2 mas não integrável em A, certo?Vou ser mais específico na minha fonte de leitura... eu li a descrição do teorema de Tonelli em
http://planetmath.org/encyclopedia/TonellisTheorem.html
Nas hipóteses do teorema (no site que você indicou) aparece que a função deve estar em L^+(X x Y). Esta hipótese não vale em geral para a função que você construiu.
Abraços. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
