on 05.11.04 20:42, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > É possível empilhar n tijolos de tal modo que o tijolo de cima não esteja em > cima de nenhum ponto do tijolo embaixo de todos, mas uma pessoa pesando 100 > tijolos pode ficar no meio do tijolo de cima sem derrubar a pilha? > Sim. Uma ideia eh maximizar o deslocamento possivel (ou seja, sem que tudo desabe) de cada tijolo em relacao ao tijolo que estah em cima. Suponhamos que cada tijolo tenha comprimento 1 e que o centro de massa (cm) do sistema (pessoa + T1) tenha abscissa x(1) = 0. A borda esquerda de T2 deve entao ter abscissa 0 e, de fato, a borda esquerda de cada tijolo deve ter abscissa igual a do centro de massa do sistema formado pela pessoa e por todos os tijolos acima dele.
O cm do sistema (pessoa + T1 + T2) terah abscissa: x(2) = (101*x(1) + (x(1)+1/2)*1)/102 = x(1) + (1/2)/102 O cm do sistema (pessoa + T1 + T2 + T3) terah abscissa: x(3) = (102*x(2) + (x(2)+1/2)*1)/103 = x(2) + (1/2)/103 ... O cm do sistema (pessoa + T1 + ... + Tk) terah abscissa: x(k) = ((99+k)*x(k-1) + (x(k-1)+1/2)*1)/(100+k) = x(k-1) + 1/2/(100+k). ... Ou seja, para k >= 2, x(k) = (1/2)*(1/102 + 1/103 + ... + 1/(100+k)) Como x(k) = metade de uma serie harmonica que comeca em 1/102, temos que x(k) -> infinito quando k -> infinito Assim, eh soh tomar k tal que x(k) > 1/2. A borda esquerda do (k+1)-esimo tijolo terah abscissa x(k) > 1/2 e, portanto, nenhum ponto desse tijolo estarah abaixo de algum ponto do 1o. tijolo. De fato, eh possivel (em teoria, claro) que a pessao esteja a uma distancia horizontal arbitrariamente grande do tijolo na base da pilha. > A propósito, os números de Mersenne 2^p-1 são todos livres de quadrados? > Nao se sabe. O problema estah em aberto. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================