Eu acho mesmo que o Artur vai gostar dessa aqui: A ideia eh provar que, para x >= 2, SOMA(p <= x) 1/p > log(log(x)) - 1, onde a soma em questao se estende aos primos <= x. A divergencia da serie dos inversos dos primos eh uma consequencia imediata dessa desigualdade.
Seja A = conjunto dos naturais cujos fatores primos sao <= x. Entao, o produtorio: PRODUTO(p <= x) (1 + 1/p + 1/p^2 + ...) eh igual a soma: SOMA(n em A) 1/n. Em particular, se n <= x, entao n pertence a A, de forma que a soma: SOMA(1 <= n <= x) 1/n estah incluida na soma acima. Agora, sabemos que: SOMA(1 <= n <= N) 1/n >= INTEGRAL(1 a N+1) dx/x = log(N+1) > log(x). Logo, SOMA(n em A) 1/n > SOMA(1 <= n <= x) 1/n > log(x). Por outro lado, SOMA(n em A) 1/n = PRODUTO(p <= x) (1 + 1/p + 1/p^2 + ...) = PRODUTO(p <= x) 1/(1 - 1/p). Ou seja: PRODUTO(p <= x) 1/(1 - 1/p) > log(x). ***** Agora, para a grande sacada da demonstracao: a desigualdade: exp(y + y^2) >= 1/(1 - y), para 0 <= y <= 1/2, a qual se demonstra facilmente pela analise da derivada de: f(y) = (1 - y)exp(y + y^2) Fazendo y = 1/p para cada primo p <= x, e multiplicando as desigualdades membro a membro, obtemos: PRODUTO(p <= x) exp(1/p + 1/p^2) >= PRODUTO(p <= x) 1/(1 - 1/p) > log(x). Mas: PRODUTO(p <= x) exp(1/p + 1/p^2) = exp( SOMA(p <= x) (1/p + 1/p^2) ), de forma que: exp( SOMA(p <= x) (1/p + 1/p^2) ) > log(x) ==> SOMA(p <= x) (1/p + 1/p^2) > log(log(x)) ==> SOMA(p <= x) 1/p > log(log(x)) - SOMA(p <= x) 1/p^2 Mas SOMA(p <= x) 1/p^2 < SOMA(n >= 2) 1/n^2 = Pi^2/6 - 1 < 1 ==> SOMA(p <= x) 1/p > log(log(x)) - 1. []s, Claudio. on 08.11.04 14:12, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Artur Costa Steiner ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: >> >> Oi pessoal, >> Algum de voces jah estudou, quanto a convergencia, series do tipo Soma( n=1, >> oo)(1/p_n)^k, sendo p_n o n_gesimo primo positivo e k>=1 um real? Eu sei que >> para k=1 a serie diverge. Alguem poderia dar uma sugestao de como podemos >> provar isto? > > Uma forma de fazer isso é supondo que a série converge. Se isso ocorre, > então existe um k inteiro positivo tal que Soma( n=k+1, oo)(1/p_n) < 1/2. > > Seja Q = p_1*...*p_k o produto dos k primeiros primos, e considere números > da forma 1 + m*Q, onde m = 1, 2, ... . Claramente, todo fator primo desses > números está entre os primos p_(k+1), p_(k+2), ... . Logo, para cada r >= 1, > temos > > Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) <= Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t , > > visto que a soma à direita inclui entre seus termos todos os termos da > esquerda. Mas da observação feita no início, > > Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t <= Soma(t=1, oo)(1/2)^t = 2 > > e portanto Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) converge. Mas > > integral(1, A)(1/(1 + x*Q))dx = (1/Q)*log(1 + A*Q) - (1/Q)*log(1 + Q) -> oo > quando A -> oo. > > Logo, pelo teste da integral, este somatório deveria divergir, o que gera a > nossa desejada contradição. > > Eu não estou certo quanto a isso, mas acho que há uma demonstração > combinatória desse resultado... > > []s, > Daniel > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================