on 08.11.04 12:35, Luís Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Sejam AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=x, BD=y e seja m a reta > simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC. > > Lema: a reta m contém um e somente um ponto O tal que o /_ AOB = /_ ACD . > O ponto O \in m pertence ao lado BC sss ABCD é cíclico. > Agora faz sentido!
> Dos triângulos ACD e AOB, temos /_ ABO = /_ ADC . > > Assim, se ABCD é cíclico, o ponto O está no lado BC; e somente nesse caso, > pois, reciprocamente, se O está em BC então ABCD é cíclico. > > Teorema: (Ptolomeu) xy = ac + bd sss ABCD é cíclico. > > Na dem. do lema acima mostra-se que OB = ac/d e que AO/AC = a/d. > Pois os triangulos OBA e CDA sao semelhantes. > Daí a const. que segue: > > 1) Numa reta r marque CB = b e construa O tal que BO = ac/d > (com B entre O e > C). Isso implica que OC = (ac + bd)/d = xy/d. > > 2) um lg para A é o círculo (B,a). O outro é um círc. de Apolônio > considerando os pontos O e C. > Ou seja, A pertence ao l.g. dos pontos X tais que |XO|/|XC| = a/d. Legal, com A construido, basta tracar os circulos (A,d) e (C,c), cujo ponto de interseccao no interior do angulo ABC eh justamente D. O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do Eduardo Wagner. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================