Paulo Santa Rita ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno e { a1, >..., an } uma base deste espaco. Dados N numeros reais ( image que o corpo >associado a V e o conjunto dos numeros reais ) quaisquer {R1, ..., Rn }. >Mostre que existe UMA UNICA base { b1, ..., bn } de V tais que : > ><ai,bj>= 0 se i # j ( "#" significa "e diferente de" ) ><ai,bj>=Ri se i=j
Primeiramente, nenhum R_i pode ser nulo; se R_i é nulo então { a_1, ..., a_i, b_i, ..., a_n } é um conjunto com n+1 vetores linearmente independentes, absurdo, a menos que fosse b_i = 0, outro absurdo pois queremos determinar uma base. Todo b_i pode ser expresso como combinação linear de vetores da base A = { a_1, ..., a_n }. b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n Como <b_i, b_j> = c_i1<a_1, a_j> + ... + c_in<a_n, a_j> = d_ij*R_i (onde d_ij = 1 se i=j e 0 se i # j ), temos n sistemas de n equações, para i variando de 1 até n: c_i1<a_1, a_1> + ... + c_in<a_n, a_1> = 0 ... c_ii<a_1, a_i> + ... + c_in<a_n, a_i> = R_i ... c_in<a_1, a_n> + ... + c_in<a_n, a_n> = 0 Queremos determinar os c_ij, sendo que a matriz M dos coeficientes é sempre a mesma para todo i. Seja X_i o vetor de R^n tal que a j-ésima coordenada seja <a_i, a_j>, ou seja, os vetores coluna de M. Mostremos que os X_i são linearmente independentes; isso implica que o det(M) não é nulo, logo cada sistema nxn tem solução, que será única. Se t_1*X_1 + ... + t_n*X_n = 0, então t_1*<a_1, a_j> + ... + t_n*<a_n, a_j> = 0 para todo j ==> < t_1*a_1 + .. + t_n*a_n, a_j > = 0 para todo j ==> t_1 = t_2 = ... = t_n = 0 pois do contrário t_1*a_1 + ... + t_n*a_n seria um vetor perpendicular à todo vetor da base A, absurdo. Assim, é possível determinar os coeficientes c_ij para todo i,j, logo encontramos n vetores b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n. Seja B o conjunto desses b_i. Precisamos mostrar que B é base; sendo um conjunto de n vetores, basta mostrar que é linearmente independente: s_1*b_1 + ... + s_n*b_n = 0 ==> <s_1*b_1 + ... + s_n*b_n, a_i> = 0 para todo i ==> s_i*<b_i, a_i> = 0 para todo i ==> s_i*R_i = 0 para todo i ==> s_1 = s_2 = ... = s_n = 0 Logo, B é a base. A unicidade já havia sido demonstrada. []s, Daniel ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================