Sejam x1 e x2 elementos de R^p. Para todo y de A, temos que d(x1,A) <= ||x1 - y|| <= ||x1 - x2|| + ||x2 - y||. Logo, d(x1,A) <= inf{||x1 - x2|| + ||x2 - y|| : y pertence a A} = ||x1 - x2|| + inf{||x2 - y|| : y pertence a A} = ||x1 - x2|| + d(x2,A), de modo que d(x1,A) - d(x2,A) <= ||x1 - x2||. Como desigualdade similar vale se permutarmos x1 e x2, temos que |d(x1,A) - d(x2,A)| <= ||x1 - x2||, o que mostra que a funcao d nao apenas eh continua, mas, ateh mesmo, Lipschitz (logo, uniformrmente continua). Esta conclusao independe de A ser aberto, fechado, ou o que quer que seja (supondo-se A nao vazio).
Como 0 <2/3 <1, 2/3)^n}M -> 0 quando n -> oo (Estou assumindo que M eh um numero positivo fixo). A condicao ||(gm) - (gn)||<= {(2/3)^n}M para m>n implica entao, que se n for suficientemente grande e m>n, o primeiro membro da desigualdade torna-se tao proximo de 0 quanto se queira - justamente o criterio de Cauchy para convergencia uniforme. Artur --------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] funcao continua Data: 29/11/04 16:04 Seja d{x,A}, definida em R^p e tomando valores em R , onde d{x,A} = inf{ ||x-y|| : y pert. a A} e A eh um subconj. fechado de R^p. Prove que essa fç eh continua. Se (gk) eh uma seq. de funcoes tal que se m>=n temos ||(gm) - (gn)||<= {(2/3)^n}M explique pq o criterio de Cauchy eh satisfeito e portanto a convergencia eh uniforme. Desde jah agradeco []s ________________________________________________ OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================